Naravoslovje
Newtonovi zakoni (veljajo le v inercialnih opazovalnih sistemih):
- Če je vsota učinkov okolice (sil) enaka nič, telo miruje ali se giblje premo in enakomerno: \(\sum_{i} \vec F_i = 0\)
- Pospešek je sorazmeren s silo in ima smer sile: \(\sum_{i} \vec F_i = m \vec{a}\)
- Če deluje prvo telo na drugo z neko silo, deluje drugo telo na prvo z nasprotno enako silo: \(\vec F_{1,2} = - \vec F_{2,1}\)
Sila je učinek okolice, teles v okolici. V inercialnih opazovalnih sistemih ni “skrivnostnih” sil brez določenega telesa – vsaka sila ima svoje izvorno telo.
Masa je lastnost telesa, da se upira pospešovanju – vztrajnost (inercija). Teža je sila okolice, sorazmerna z maso (težnostni pospešek je neodvisen od mase).
| lepenje | \[ F_{l, max} = k_l F_N \] |
| trenje | \[ F_{tr} = k_{tr} F_N \] |
| količnik trenja/lepenja | \[ k_l \geq k_{tr} \] |
| Hookov zakon | \[ \vec F_{vzmet} = -k_{vzmeti} \vec{x} \] |
Težišče: \[ \vec r^* = \frac{\sum m_i \vec r_i}{\sum m_i} = \frac{\int \d m \vec r}{\int \d m}; M = \int \d m \]
\[ g(r) = g \frac{r_z^2}{r^2} \] \[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \] \[ \frac{r^3}{t_0^2} = \text{stalno} \]
\[ F = k x \] \[ F_tr = k_tr F_n \] \[ \vec{F} = m \vec{a} \] \[ \vec{G} = m \vec{v} \] \[ \vec{F} \Delta t = \Delta \vec{G} \] \[ M = r F \sin \alpha \] \[ \Delta p = \rho g h \]
\[ F = p S \] \[ F_v = \rho_{\text{tek.}} g V \] \[ \Delta p = \rho g h \]
Mehanika
- Opis gibanja: kinematika
- Napoved gibanja: dinamika
\[ x = x_0 + v_0 t + \frac {a t^2}{2} \] \[ v = v_0 + a t \] \[ v^2 = v_0^2 + 2 a x \]
| položajni vektor | \[ \vec r = \int_{t'}^t \vec v \d t \] |
| pot [\(m\)] | \[ s = \int_{\vec r'}^{\vec r} \lvert \d \vec r \rvert = \int_{\vec r'}^{\vec r} \d s \] |
| hitrost (spreminja vektor položaja) [\(\frac{m}{s}\)] | \[ \vec v = \vec r '(t) = \frac{\d \vec r}{\d t} = \vec v' + \int_{t'}^t \vec a \d t \] \[ \overline{\vec v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\vec s}{\Delta t} \] |
| pospešek (spreminja smer in velikost hitrost) [\(\frac{m}{s^2}\)] | \[ \vec a = \vec v '(t) = \frac{\d \vec v}{\d t} \] \[ \overline{\vec a} = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \] |
Stalen pospešek: \[ \Delta v = at \] \[ v^2 = v'^2 + 2 a (x - x') \]
Navor: \[ \vec M = \vec r \times \vec F = m \vec \alpha r^2 = J \vec \alpha \]
Energije
\[ A = \Delta W_k + \Delta W_p + \Delta W_{pr} \] \[ A = - p \Delta V \]
| delo (sprememba energije) [\(\frac{kg m^2}{s^2} = Nm = J\)] | \[ A = \vec{F} \vec{s} = F s \cos \varphi = \Delta W \] |
| moč [\(\frac{J}{s} = W\)] | \[ P = \frac{\d A}{\d t} \] \[ \overline{P} = \frac{A}{\Delta t} \] |
\[ P = \frac{\d A}{\d t} = \frac{\d F s}{\d t} = F \frac{\d s}{\d t} = F v \]
\(W = W_k + W_p = M_Z \frac{v^2}{2} - G \frac{M_S M_Z}{r}\) (npr. v osončju):
- \(W < 0\): vezan sistem (elipsa)
- \(W = 0\) (parabola)
- \(W > 0\): prost sistem (hiperbola)
Kinetična energija
\[ \Delta W_k = A = \int_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec F \d \vec r = \int_{\vec r_1}^{\vec r_2} m \vec a \d \vec r = \int_{\vec r_1}^{\vec r_2} m \frac{\d \vec v \d \vec r}{\d t \d t} = m \int_{\vec v'}^{v} \vec v \d \vec v = m \int \vec v \d \vec v = m \int \left( v_x \d v_x + v_y \d v_y + v_z \d v_z \right) = \frac{1}{2} m \left( v_x' + v_y' + v_z' \right) \Big|_{v'}^{v} = \frac{1}{2} m v^2 \Big|_{v'}^{v} = \frac{1}{2} m (v^2 - v'^2) \]
\[ W_k = \frac {m v^2}{2} \]
Potencialna težnostna energija
Potencialna energija ima naravno izhodišče (\(W_{p, g} = 0\)) neskončno daleč stran, kjer gre teža proti nič (\(r_1 \rightarrow \infty\)):
\[ \vec F_g = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \frac{r_{1,2}}{r} \] \[ W_{p, g} = - A_g = - \int_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec F_g \cdot d\vec{r} = - \int_{r_1}^{r_2} \left(- \frac{G m_1 m_2}{r^2} \right) \frac{r_{1,2}}{r} dr = \int_{r_1}^{r_2} \frac{G m_1 m_2}{r^3} r dr = - \frac{G m_1 m_2}{r} \Big|_{r_1}^{r_2} = - \frac{G m_1 m_2}{r_2} \]
Za “ravno Zemljo” (\(\Delta h << r_Z\)):
\[ g = \frac{G M_Z}{r_Z^2} \] \[ W_{p, g} = m g h \]
Potencialna prožnostna energija
\[ \Delta W_{pr} = -A_{vzmeti} = - \int_{x'}^x F x \d x = \int_{x'}^{x} k x \d x = \frac{1}{2} k (x^2 - x'^2) = \frac{1}{2} k x^2 \]
Termodinamika
Temperatura je termodinamska spremenljivka, toplota pa ne. Toplota je način prehajanja energije, vrsta dela.
Povprečna kinetična energija molekul: \[ p = \frac{2}{3} \frac{N}{V} < W_{k1} > \]
Kinetična opredelitev temperature: \[ < W_{k 1} > = \frac{3}{2} k_B T \]
Ničti zakon : Če je termodinamski sistem A v ravnovesju z B in B v ravnovesju z C, potem je A v ravnovesju z C (prenosljivost termodinamskega ravnovesja).
\[ \Delta W_n = Q_{stalna V} = m c_V \Delta T \] \[ Q_{stalen p} = \Delta W_n - A = m c_V \Delta T + \int{p \d V} = m c_V \Delta T + p (V_2 - V_1) = m c_V \Delta T + \frac{m}{M} R \Delta T = m c_p \Delta T \]
Za popolni plin velja: \[ c_p - c_V = \frac{R}{M} \]
Splošna plinska enačba: \[ \frac{p V}{T} = \mathrm{stalnica} = N k_B = \frac{m}{M} N_A k_b = \frac{m}{M} R \] \[ p V = n R T = \frac{m}{M} R T \]
| enačba stanja | toplota | delo | \[\Delta W_n\] | |
|---|---|---|---|---|
| stalen \(p\) | \[ \frac{V}{T} \] | \[ Q = \Delta H = m c_p \Delta T \] | \[ - p \Delta V \] | \[ m c_V \Delta T \] |
| stalna \(V\) | \[ \frac{p}{T} \] | \[ Q = \Delta W_n = m c_V \Delta T \] | / | \[ m c_V \Delta T; \Delta W_n = Q_{stalna V} \] |
| stalna \(T\) | \[ p V \] | \[ Q = - A = \frac{m}{M} R T \ln(\frac{V}{V'}) \] | \[ A = - \int{p \d V} = - p_0 V_0 \int{\frac{\d V}{V}} = \frac{m}{M} R T \ln(\frac{V}{V'}) \] |
\[ \frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta T \] \[ \frac{\Delta V}{V} = \beta \Delta T \]
- \(\alpha\) – lienarni količnik dolžinskega raztezka
- \(\beta\) – linearni količnik prostorninskega raztezka
\[ \beta = 3 \alpha \]
Entropija
\[ \d S \geq \frac{\mathrm{đ} Q}{T} \] \[ \Delta S \geq \int{ \frac{\d Q}{T} } \]
Gibalna količina
\[ \vec G = m \vec v \] \[ \vec F = m \vec a = m \frac{\d \vec v}{\d t} = \frac{\d (m \vec v)}{\d t} = \frac{\d \vec G}{\d t} \] \[ \int_{t'}^{t} \vec F \d t = \int_{t'}^t \frac{\d \vec G}{\d t} \d t = \vec G \Big|_{t'}^t = \vec G - \vec G' = \Delta \vec G \]
- Neprožni trk: ohranja se gibalna količina
- Prožni trk: ohranjata se gobalna količina in kinetična energija
Vrtenje
Kot \(\phi\) ni vektor, je pa njegov diferencial \(\vec{d \phi}\).
| kot | \[ \phi = \frac{l}{r} \] |
| kotna hitrost [\(\frac{1}{s}\)] | \[ \vec \omega = \vec \phi '(t) = \frac{\vec {\d \phi}}{dt} \] \[ \overline \omega = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} \] |
| kotni pospešek [\(\frac{1}{s^2}\)] | \[ \vec \alpha = \vec \omega '(t) = \frac{\vec {\d \omega}}{\d t} \] |
| frekvenca [Hz] | \[ \gamma = \frac{N}{\Delta t} = \frac{1}{t_o} \] |
\[ \phi = \phi_0 + \omega_0 t + \frac{\alpha}{2} t^2 \] \[ \omega = \frac{2 \pi}{t_o} = 2 \pi \gamma = \omega_0 + \alpha t \] \[ a_r = \omega v = \frac{v_0^2}{r} = \omega^2 r \] \[ \vec{v} = \frac{\d \vec{r}}{\d t} = r \frac{\vec{\d \phi}}{\d t} = \vec r \times \vec{\omega} \] \[ \vec{a_t} = \frac{\vec{\d v}}{\d t} = r \frac{\vec{\d \omega}}{t} = \vec r \times \vec{\alpha} \]
\[ \vec F_{Coriolis} = -2 m (\vec{\omega} \times \vec{v}) \]
Keplerjevi zakoni:
- Tiri planetov so elipse, Sonce je v gorišču.
- Ploščinska hitrost planetov je stalna.
- \(\frac{r^3}{t_0^2}\) = stalno
Vztrajnostni moment [\(kg m^2\)] je porazdelitev mase glede na os vrtenja: \[ W_{k, rot} = \frac{1}{2} \sum_i m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \int \d m v^2 = \frac{1}{2} \int \d m r^2 \omega^2 = \frac{1}{2} \omega^2 \int \d m r^2 = \frac{1}{2} J \omega^2 \] \[ J_{točka, cev} = m r^2 \] \[ J_{valj} = \frac{1}{2} m r^4 \] \[ J_{krogla} = \frac{2}{5} m r^2 \]
Steinerjev izrek: če je težišče telesa izmaknjeno od osi vrtenja, je vztrajnostni moment telesa enak vsoti tistega, ki bi bil, če bi bila os v težišču in tistega, če telo vzamemo kot točko (težišče) ki kroži na neki razdalji os osi: \[ J = J^* + m r^2 \]
\[ A = \Delta W_k = \frac{1}{2} J (\Delta \omega)^2 = \int \vec M \vec{\d \phi} \] \[ P = \frac{\d A}{\d t} = \frac{\vec M \vec{\d \phi}}{\d t} = \vec M \vec \omega \] \[ \vec M = J \vec \alpha \]
Vrtilna količina je gibalna količina porazdeljena po vrtečem se telesu: \[ \vec \Gamma = \vec r \times \vec G = \int \d m \vec r \times \vec v = J \vec \omega \] \[ \vec M = \vec r \times \vec F = \vec r \times \frac{\d \vec G}{\d t} = \frac{\d \vec \Gamma}{\d t} \] \[ \vec \Gamma = \vec \Gamma_{tirna} + \vec \Gamma_{lastna}^* \] \[ \vec \Gamma_{tirna}^* = \int \d m \vec r_T \times \vec v_T \] \[ \sum \vec r^* \times \vec F_{zun} = \vec r^* \times \sum \vec F_{zun} \]
Ravnovesje
- labilno r. (npr. na vrhu hriba)
- indiferentno r. (npr. na ravnini)
- stabilno r. (npr. na dnu doline)
Deformacije
| napetost, prožnostni modul, deformacija (?) | \(\frac{\vec F}{\vec S} = k \frac{\vec F}{\vec S}\) |
| nateg (prožnost E [\(\frac{N}{m^2}\)) | \(\frac{F_x}{S_x} = E \frac{\Delta x}{\d x}\) |
| strižna deformacija | \(\frac{F_y}{S_x} = G \frac{\Delta y}{\d x}\) |
| vsestransko stiskanje (stisljivost \(\chi\) [\(\frac{m^2}{N}\)]) | \(\frac{F}{S} = K \frac{\Delta V}{V} = - K \chi \Delta p\) |
| Pasonov količik | \(\frac{\Delta y}{\d y} \frac{\Delta z}{\d z} = - \mu \frac{\Delta}{\d x}\) |
\[ K = \frac{E}{3 (1 - 2 \mu} \] \[ G = \frac{E}{2 (1 + \mu)} \]
Vzvoj (torzija; npr. zvijanje palice okoli njene osi): \[ M = - D \phi \] \[ D = \frac{1}{2} \pi G \frac{R_0^4}{l} [\frac{N m^4}{m^2 m} = N m] \]
Nihanje
\[ \gamma = \frac{N}{\Delta t} = \frac{1}{t_0} \] \[ \omega = \frac{2 \pi}{t_0} = 2 \pi \gamma \]
\[ x(t) = A \sin (\omega t + \delta) \] \[ v(t) = \frac{\d x}{\d t} = v_0 \cos (\omega t + \delta) = \omega A cos(\omega t + \delta) \] \[ a(t) = \frac{\d v}{\d t} = a_0 \sin (\omega t + \delta) = - \omega^2 A \sin (\omega t + \delta) = - \omega^2 x(t) \]
\[ F = m a = -m \omega^2 x = - k x \] \[ W = W_k + W_p = \frac{1}{2} m \omega^2 \left( \cos^2 (\omega t + \delta) + \sin^2 (\omega t + \delta) \right) = \frac{1}{2} m \omega^2 \]
Matematično nihalo: \[ \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} \]
Vzmetno nihalo: \[ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
Vzvojno nihalo: \[ \omega_0 = \sqrt{\frac{D}{J}} \]
Dušeno nihanje
\[ W = W_0 \mathrm{e}^{-2 \beta t} \] \[ \omega '^2 = \omega^2 - \beta^2 \]
- nadkritično dušenje: \(\beta > \omega\) \[ s = s_0 \mathrm{e}^{- \beta t} \cosh (\omega t + \delta) \]
- kritično dušenje: \(\beta = \omega\) \[ s = s_0 \mathrm{e}^{- \beta t} + s_2 t \mathrm{e}^{- \beta t} \]
- podkritično dušenje: \(\beta < \omega\) \[ s = s_0 \mathrm{e}^{- \beta t} \cos (\omega t + \delta) \]
Vsiljeno nihanje
\[ \tan \delta = \frac{2 \beta \omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \]
Tekočine
Tlak [\(\frac{N}{m^2} = Pa\)]: \[ p = \frac{\d F}{\d S} \]
Hidravlika: \[ \frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1} \]
Vzgon – nasprotno enak teži izpodrinjene tekočine: \[ \Delta p = \rho g h \] \[ \vec F_{vzg} = \int p_{hidrostat.} \d \vec S \]
Bernoullijeva enačba: \[ A_{tek.} = - \Delta p V = \Delta W_k + \Delta W_pg = \rho V \Delta (\frac{v_2}{2} + \rho V g \Delta h \] \[ \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 + p_1 = stalno \]
\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{v_1}{v_2} \]
Gradient hitrosti zaradi strižnih sil: $$ =
Upor:
- linerani zakon (Stokes): \(F_u^{(1)} = 6 \pi R \eta v\)
- kvadratni zakon: \(F_u^{(2)} = \frac{1}{2} \rho v^2 \pi R^2 C_u\)
Laminarni in turbolentni tok
Reynoldsovo število: \[ {Re} = \frac{\rho}{\eta} 2R v \]
- \({Re} < 0.1\): laminaren tok, linearni zakon upora
- \(0,1 < {Re} < 10^3\): mešani tok
- \(10^3 < {Re}\): turbolentni tok, kvadratni zakon upora
Elektrika
V mikrosvetu je težnost zanemarljiva v primerjavi z električno silo.
polje [N/As = V/m] – Coulombov zakon: \[ \vec E_{\mathrm{toč.}} (\vec{r}) = \frac{e}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \frac{\vec{r}}{|r|} \] \[ \vec E_{\mathrm{porazd.}} = \int{ \vec{\d E} } = \int{ \frac{\d e}{4 \pi \epsilon_0 \vec{r}^2} } \] \[ \vec{E} (\vec{r}) = \sum{\vec{E_i} (\vec{r})} \]
Enačba za silo je na moč podobna enačbi za težo, \(\vec{F_g} (\vec{r}) = m \vec{g} (\vec{r})\), kjer imamo maso v težnostnem polju. \[ \vec{F_e} (\vec{r}) = e \vec{E} (\vec{r}) \]
Električna sila je konzervativna sila: \[ \oint e \vec{E} \d \vec{s} = 0 = A_e \]
, kjer je \(d\) razdalja med poloma, oz. nasprotnima nabojema: \[ \vec{p_e} = e d \]
\[ \vec{M_e} = e \vec{E} d \sin(\theta) = \vec{p_e} \times \vec{E} \] \[ W_e = - A_e = - \int{ \vec{p_e} \times \vec{E} \vec{\d \theta} } = - \int{ p_e E \sin(\theta) \d \theta } = p_e E \cos(\theta) = - \vec{p_e} \vec{E} \]
Gostota el. naboja po dolžini, površini in prostornini: \[ \lambda = \frac{\d e}{\d l}; \sigma = \frac{\d e}{\d S}; \rho_e = \frac{\d e}{\d V} \] \[ \vec E_{\mathrm{vodnik}} (\vec r) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 \vec r}; r << l \] \[ E_{\mathrm{plošča}} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \]
pretok [As]: \[ \phi_e = \epsilon_0 \int{ \vec{E} \vec{\d S}} \]
Gaussov zakon: Če preštejemo vse silnice, dobimo objeti naboj: \[ \epsilon_0 \oint{ \vec{E} \vec{\d S} } = e \]
- Primer za kroglo, v sredini katere je naboj: \[ \epsilon_0 \oint{ \vec{E} \vec{\d S} } = \epsilon E(r) 4 \pi r^2 = e \]
- Primer za ploščo: \[ \epsilon_0 \oint{ \vec{E} \vec{\d S} } = \epsilon_0 2 E \d S = \sigma \d S = \d e \]
napetost med dvema točkama [J/As = V] je razlika med el. potencialoma: \[ W_{\mathrm{p, e}} = - A_e = - \int{ \vec{F} \vec{\d s} } = \int{ e \vec{E} \vec{\d s} } \implies - \int_{\vec r'}^{\vec r} \vec{E} \vec{\d s} = U (\vec{r}, \vec{r'}) \] \[ W_{\mathrm{p, e}} = e U \]
Skalarno polje električnega potenciala: \[ V(\vec{r}) = - \int_{-\infty}^{\vec r} \vec{E} \vec{\d s} \] \[ W_{\mathrm{p, e}} (\vec{r}) = e V(\vec{r}) \]
Za točkast naboj: \[ V_{\mathrm{točk.}}(\vec r) = \frac{e}{4 \pi \epsilon_0 r} \]
Snov v električnem polju
Snovi lahko ločimo po gibljivosti električnega naboja:
: upor je po opredelitvi ničen
Prevodniki (kovine): naboji se prosto gibljejo po snovi (dipol makroskopskih velikosti) V kondenzator vstavimo plošče prevodnika: naboj v prevodniku se prerazporedi, tako da se na strani prevodnika pri pozitivno nabitem delu kondenzatorja naberejo elektroni – tako dobimo dva nova “kondenzatorja” z manjšim razmikom \[ U_C = \frac{e (d - d_p)}{\epsilon_0 S} \]
Polprevodniki
/
- polarni: trajen dipolni moment
- nepolarni: brez trajnega dipolnega momenta, dobi ga / je induciran v el. polju
Dielektričnost \(\epsilon \in [1, \infty)\): pove, koliko se snov (dielektrik) odzove na zunanje el. polje (\(\epsilon\) vakuma je 1, prevodnika pa \(\infty\)) Gaussov zakon popravljen za dielektrike: \[ \epsilon_0 \oint \epsilon \vec E \vec{\d S} = \oint \vec D \vec{\d S} = e \] Gostota el. polja: \[ \vec D = \epsilon \epsilon_0 \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \] Polarizabilnost(0 za vakum, proti \(\infty\) za prevodnike): \[ \vec P = (\epsilon - 1) \epsilon_0 \vec E \] Povsod, kjer nastopa \(\epsilon_0\), se ga pomnoži z \(\epsilon\).
V polarnem dielektriku el. polje dipole uredi/usmeri, v nepolarnem pa jih influencira, zato pri obeh vrstah lahko govorimo o isti dielektrični stalnici.
Polarizacija kot prostorninska gostota dipola: \[ \frac{e_R}{S} = \frac{N}{V} p_e \]
Navor el. polja na dipol: \[ \vec M = \vec{p_e} \times \vec E \] \[ E_e = - \vec{p_e} \vec E \]
Praviloma višja, kot je temperatura snovi, bolj se delci (dipoli) gibljejo in večja je dielektričnost snovi, saj je potrebne manj energije, da se dipoli poravnajo z el. poljem.
Elektrodinamika
tok [A] je hitrost prehajanja naboja, a ni vektor \[ I = \frac{\d e}{\d t} = \rho_e v S \]
Električni tok je vedno laminaren.
Gostota el. toka: \[ \vec{j_e} = \frac{I}{S} = \rho_e \vec v = e w_e <\vec v>; w_e = \frac{N_+ - N_-}{V} \]
Elektroni se v npr. navadnih žicah gibljejo zelo počasi (~ \(10^{-4} \frac{m}{s}\)), se pa motnja širi s približno svetlobno hitrostjo. Poleg hitrosti pa imajo elektroni še neko temperaturo, kar doprinese k hitrostni širjenja motnje.
Ohmov zakon [\(\Omega\)]: \[ U = R I \] \[ R = \zeta \frac{l}{S} \] \[ j = \frac{\d I}{\d S}; \frac{U}{l} = E \implies \frac{\vec E}{\zeta} = \sigma \vec E \] \(\zeta\) je specifični upor/upornost [\(\Omega m\)]
Električni krogi
Tok po celotnem el. krogu je stalen, ker se elektroni ne izgubljajo.
Vsota napetosti po krogu je enaka nič: \[ \oint \vec E \vec{\d s} = 0 \implies \sum_i U_i = 0 \]
Napetost na porabniku je enaka \(U = - I R\).
\[ P = \frac{\d A_e}{\d t} = \frac{U \d e}{\d t} = U I = - I^2 R \]
Kirchhoffova zakona:
- Vsota tokov v vozlišču el. toka je enaka nič, oz. vsota pritekajočih tokov je enaka vsoti odtekajočih \[ \sum_{vozlišče} I_i = 0 \]
- V sklenjeni tokovni zanki je vsota napetosti po vseh gradnikih kroga enaka nič \[ \sum_{krog} U_i = 0 \]
Kondenzator
Kondenzator deluje kot hranilnik naboja, oz. v tokokrogu kot “prožnost”
- ploščati (kjer je \(d\) razmak med ploščama in \(S\) njuna ploščina): \[ E_C = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}\] \[ |U| = | - \int \vec E \d \vec s | = E d \] \[ C = \frac{\epsilon_0 S}{d} \] \[ |U| = \frac{\sigma e}{\epsilon_0} \frac{d}{S} \implies e = C U \] \[ A = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 S} (d_2 - d_1) = \Delta W_{p, e} \implies W_C = \frac{e^2 d}{2 \epsilon_0 S} = \frac{e^2}{2 C} = \frac{e U}{2} = \frac{C U^2}{2} \] \[ \int \d A_e = \int U \d e = \int U C \d U = \frac{C U^2}{2} \]
- valjasti (kjer je notranji polmer \(r\) in zunanji \(R\): \[ E = \frac{e}{2 \pi \epsilon_0 l r} \] \[ |U| = \frac{e}{2 \pi \epsilon_0 l} \ln \frac{R}{r} \]
- krogelni (kjer je \(r\) polmer notranje krogle in \(R\) zunanje): \[ E = \frac{e}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \] \[ |U| = \frac{e}{4 \pi \epsilon_0} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R}) \] \[ C = \frac{4 \pi \epsilon_0}{\frac{1}{r} - \frac{1}{R}} \]
\[ W_e = \frac{W_C}{V} = \frac{e^2 d \epsilon_0}{2 \epsilon_0^2 S S d} = \frac{\epsilon_0 E^2}{2} \]
Prehodni pojavi v kondenzatorju
Karakteristični čas \(\tau = R C\)
Polnjenje \[ U_C + U_R = 0 \implies \frac{e}{C} - I R = 0 \implies e = - \frac{\d e}{\d t} R C \implies - \int_0^e \frac{\d e}{e} = \int_0^t \frac{\d t}{R C} \implies \ln \frac{e}{e_0} = - \frac{t}{R C} \implies e = e_0 \left( 1 - e ^{- t / (R C)} \right) \] \[ e = e_0 \left( 1 - e ^{- t / \tau} \right) \]
Praznenje
\[ e = e_0 e^{- t / \tau} \]
Elektromagnetizem
Magnetno polje ustvari električni tok, oz. naboj.
S silnicami magnetnega polja predstavimo gostoto mag. polja.
Silnice magnetnega polja so vedno sklenjene (tečejo namreč od severnega pola na južni pol in tudi skozi magnet nazaj). Magnetnih monopolov (najverjetneje) ni.
\[ \vec B_1 = e (\vec v_1 \times \vec r) \frac{\mu_0}{4 \pi r^2 r} \] \[ \mu_0 \epsilon_0 = \frac{1}{c^2} \]
Polje okoli vodnika: \[ \vec B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{vodnik} \frac{\vec r \times \vec{I \d l}}{r^3} = \frac{I \mu_0 a^2}{4 \pi a^3} \int_{- \pi / 2}^{\pi /2} \frac{\d \phi \cos \phi}{cos^2(\phi)} \] \[ B_{vodnik} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\]
Magnetna sila: \[ \vec{F_m} = e_2 \vec v_2 \times \vec B_1 \implies F_m = e v B \sin(\phi) \] \[ F_{m 1 2} = \frac{e_1 e_2 \mu_0}{4 \pi r^2} (\vec{v_2} \times (\vec{v_1} \times \frac{\vec r}{r})) \]
Lorentzova sila: \[ \vec{F} = e \vec E + e \vec v \times \vec B \]
Sila na vodnik: \[ \vec{F_m} = N \vec{F_1} = N_e l S e_0 v B = \vec{j_e} l S \vec B = \vec{I l} \vec B \]
Navor na zanko: neodvisen od njene oblike, odvisen le od ploščine (ki je lahko poljubno iz-/vbočena, le da je napeta na vodnik zanke) \[ |\vec M| = \vec F_{m 1} b = I a B b = I S B \] \[ \vec M = \vec I S \times \vec B \]
Magnetni dipol: \[ \vec{p_m} = \vec I \vec S \] \[ \vec M = \vec I S \times \vec B = \vec{p_m} \times \vec B \] \[ W_m = - \vec{p_m} \vec B \]
V homogenem magnetnem polju na gibajoč se naboj deluje stalna sila na eno stran – sredobežna sila, ki povzroči, da naboj v magnetnem polju kroži: \[ F_c = F_m \implies m \frac{v^2}{r} = e v B \implies r = \frac{m v}{e B} \] Ciklotronska frekvenca: \[ \nu_c = \frac{e B}{2 \pi m}; \omega = \frac{e B}{m} \]
Hallova napetost: ravnovesno stanje, kjer magnetna in električna sila kažeta vsaksebi in sta enaki \[ F_m = F_e \implies e v B = e E \] \[ U_H = E d = B d v \]
Biot-Savartov zakon: polje, ki ga vodnik (zelo dolg, \(l \gg r\)) povzroča v točki, oddaljeni \(\vec r\): \[ \vec{\d B}(\vec r) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \left( \frac{\vec{I \d l} \times \vec r}{r^3} \right)\] \[ \vec B(0) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int{ \frac{\vec r \times \vec{I \d l}}{r^3} } \]
Amperov zakon: zaobjeti tok (npr. če bi šli po magnetni silnici okoli vodnika, dobimo tok v tem vodniku) \[ \oint \vec B \vec{\d S} = \mu_0 I \] Amperov zakon za tuljavo (kjer gledamo \(l'\) in \(N'\) na neko enoto: \[ \oint \vec B \vec{\d s} = B l' = \mu_0 N' I \] \[ B = \frac{N' \mu_0 I}{l'} = \frac{N \mu_0 I}{l} \]
Indukcija
Vodnik, ki ga vlečemo pravokotno na magnetno polje: \[ U_i = U_H = B l v \] \[ F_{zaviralna} = F_m = B l I_i = \frac{B^2 l^2 v}{R} \]
Zanka, ki kroži v magnetnem polju, z osjo, pravokotno na silnice mag. polja (v zanki se inducira izmenična napetost): \[ \vec v = \vec \omega \vec r \implies U_i = 2 U_H = 2 \omega r B a = B S \omega \cos(\phi) \] \[ \vec v \times \vec B = \omega r B \cos(\phi) \]
Faradayev / zakon: inducirana napetost v zaključeni zanki je premo sorazmerna hitrosti spreminjanja magnetnega pretoka skozi površino te zanke (kjer je \(\phi_m\) mag. pretok, \(\vec B\) pa gostota mag. polja): \[ U_i = \frac{\d \phi_m}{\d t}; \phi_m = \int \vec B \vec{\d S} \] \(\vec H\): jakost Mag. polja, ki je neodvisna od snovi v prostoru \[ \oint \vec B \vec{\d S} = \mu_0 I \implies \oint \vec H \vec{\d S} = I \] \[ \oint \vec E_i \cdot \d \vec s = - \int \frac{\dd B}{\dd t} \d \vec S \]
Tuljava
Tuljava v tokogrogu deluje kot “vztrajnost”, saj se upira spremembam.
L: induktivnost tuljave \[ L = N^2 \frac{\mu_0 S}{l} \] \[ U_i = - \frac{\d \phi_m}{\d t} = - L \frac{\d I}{\d t} \]
\[ \tau = \frac{L}{R} \] “Polnjenje” tuljave \[ I = I_0 (1 - e^{- t/\tau}) \] “Praznenje” tuljave: \[ U_L + U_R = 0 \implies - L \frac{\d I}{\d t} - I R = 0 \implies L \frac{\d I}{\d t} = - I R \] \[ I = I_0 e^{- t/\tau} \]
Energija tuljave: \[ \d A = U \d e = U I \d t = P \d t = L \frac{\d I}{\d t} I \d t \implies A = L \int_0^I I \d I \] \[ W_m = L \frac{I^2}{2} \]
Tuljava v tuljavi: \[ L_{2 1} = \frac{N_2 B_1 S_2}{I_1} = \frac{\mu_0 N_1^2 I_1 N_2 S_2}{l_1 I_1} = \frac{\mu_0 N_1 N_2 S_2}{l_1} \]
Snov v magnetnem polju
\(\mu\): permeabilnost; večja kot je, bolj snov poveča mag. polje, ker so v snovi mag. dipoli \[ \mu_0 \rightarrow \mu \mu_0 \] Magnetni dipol: \[\vec p_m = I \vec S = e_0 \upsilon \pi r^2 \frac{v}{2 \pi r} = \frac{e_0 r v}{2} = \frac{e_0 \Gamma}{2 m_e} \]
Izmenični tok
\[U = U_0 \sin(\omega t + \delta) \]
Kondenzator: \[ U + U_C = 0 \implies U_0 \sin(\omega t) = \frac{e}{C} /\frac{\d}{\d t} \implies C \omega U_0 \cos(\omega t) = I \] \[ "R_C" = Z_C = \frac{U_0}{I_0} = \frac{1}{\omega C} \]
Tuljava: \[ U + U_L = 0 \implies U_= \sin(\omega t) = L \frac{\d I}{\d t} \implies - \frac{1}{\omega L} U_0 \cos(\omega t) = A I\] \[ "R_L" = Z_L = \omega L \]
\(U_C\) in \(U_L\) v tokokrogu z izmeničnim tokom nihata v protifazi.
Električni nihajni krog
\[ U = U_0 \sin(\omega t) \] \[ I = I_0 \sin(\omega t + \delta) \] \[ \omega^2 = \frac{1}{L C} \]
Primerjava vzmetnega nihala v mehaniki in el. nihajnega kroga:
| vzmetno | el. nih. krog |
|---|---|
| \[ k \] | \[ \frac{1}{C} \] |
| \[ m \] | \[ L \] |
| \[ F \] | \[ U \] |
| \[ W_k \] | \[ W_m (L) \] |
| \[ W_{pr.} \] | \[ W_e (C) \] |
| \[ x \] | \[ l \] |
| \[ v \] | \[ I \] |
\[ P = U_0 \sin(\omega t + \delta) I_0 \sin(\omega t) = U_0 I_0 \left[ \sin^2(\omega t) \cos(\delta) + \cos(\omega t) \sin(\omega t) \sin(\delta) \right] = U_0 I_0 \left[ \sin^2(\omega t) \cos(\delta) + \frac{1}{2} \sin^2(2 \omega t) \sin(\delta) \right] \] \[ \overline{P} = \frac{1}{2} U_0 I_0 \cos(\delta) \] \[ P = U_{ef.} I_{ef.} \] \[ I_{ef.} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \implies U_{ef.} = R I_{ef.} = \frac{U_0}{\sqrt{2}} \]
El. nihajni krog v kompleksnem (glej tudi Skupna števila): \[ \phi = \omega t \] \[ U = U_0 e^{\mathrm{i} \phi} \] \[ I = I_0 e^{\mathrm{i} (\phi + \delta)} \] \[ Z_C = \frac{1}{\mathrm{i} \omega C} \] \[ Z_L = \mathrm{i} \omega L \] \[ |Z| e^{\mathrm{i} \delta} = R + \mathrm{i} \omega L + \frac{1}{\mathrm{i} \omega C} \]
Fizika delcev
\[ W_f = \mathrm{h} \nu \] \[ W_f = A_i + W_k \] \[ W_f = \Delta W_n \] \[ \Delta W_v = \Delta m c^2 \]
\[ N = N_0 2^{- \frac{t}{t_{1/2}}} = N_0 e^{- \lambda t} \] \[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \] \[ A = N \lambda \]
Jedrski razpadi
Razpad alfa; delec razpada je \(\alpha = ^4_2He_2^{2+}\): \[ ^{A}_{Z}X_N \rightarrow ^{A-4}_{Z-2}Y_{N-2} + ^4_2\mathrm{He}_2 \]
Razpad beta minus; delec razpada je \(\beta^{-} = e_0^{-}\): \[ ^A_ZX_N \rightarrow ^{A}_{Z+1}Y + e_0^{-} + \bar{\nu}_e \] \[ n \rightarrow p + e_0^{-} + \bar{\nu}_e \]
Razpad beta plus; delec razpada je \(\beta^{+} = e_0^{+}\): \[ ^A_ZX_N \rightarrow ^{A}_{Z-1}Y_{N+1} + e_0^{+} + \nu_e \] \[ p \rightarrow n + e_0^{+} + \nu_e \]
Razpad gama; delec razpada je foton \(\nu\): \[ X^{+} \rightarrow X + \nu \]
Računanje z negotovostmi
Meritve brez negotovosti ne obstajajo (posebno če so zvezne narave), zato so merski podatki brez negotovosti nepopolni, torej precej neuporabni ali vsaj nezaželjeni.
Negotovosti se sešteva, kadar so medsebojno povezane/odvisne; če ne, seštevamo njihove kvadrate.
- seštevanje/odštevanje količin: seštevanje absolutnih napak
- množenje/deljenje količin: seštevanje relativnih napak
Enačbe lahko močno poenostavimo z upoštevanjem negotovosti in uporabo Taylorjeve vrste: \[ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} x + \frac{f''(a)}{2!} x^2 + \frac{f'''(a)}{3!} x^3 + ... \] V enačbi lahko zanemarimo člene od tistega naprej, ki je zadosti manjši od negotovosti.
Veličine in enote
Osnovne enote
| veličina | oznaka veličine | enota | oznaka enote |
|---|---|---|---|
| dolžina, (odmik) | l, d, (x) | meter | m |
| masa | m | kilogram | kg |
| čas | t | sekunda | s |
| električni tok | I | amper | A |
| termodinamična temperatura | T | kelvin | K |
| množina snovi | n | mol | mol |
| svetilnost | J | kandela | cd |
Izpeljane enote
| veličina | oznaka veličine | enota | oznaka enote | osnovne enote |
|---|---|---|---|---|
| ravninski kot | α | radian | rad | \[ \frac {m}{m} \] |
| prostorski kot | Ω | steradian | sr | \[ \frac {m^2}{m^2} \] |
| veličina | oznaka veličine | enota | oznaka enote | druge enote | osnovne enote |
|---|---|---|---|---|---|
| frekvenca | ν (grška ni) | herc | Hz | \[ \frac {1}{s} \] | |
| sila | F | newton (njuten) | N | \[ \frac {kg m}{s^2} \] | |
| tlak, pritisk, mehanska napetost | p | pascal (paskal) | Pa | \[ \frac {N}{m^2} \] | \[ \frac {kg}{m s^2} \] |
| energija (delo, toplota, entalpija) | W (E, A, Q, H) | joule (džul) | J | \[ N m \] | \[ \frac {kg m^2}{s^2} \] |
| moč | P | watt (vat) | W | \[ \frac {J}{s} \] | \[ \frac {kg m^2}{s} \] |
| električni naboj | Q | coulomb (kolumb) | C | \[ A s \] | |
| električna napetost (električni potencial) | U | volt | V | \[ \frac {J}{C}, \frac {W}{A} \] | \[ \frac {m^2 kg}{s^3 A} \] |
| električni upor (el. upornost) | R | ohm (om) | Ω | \[ \frac {V}{A} \] | \[ \frac {m^2 kg}{s^3 A^2} \] |
| električna prevodnost | G | siemens (simens) | S | \[ \frac {1}{Ω} = V s = \frac {A}{V} \] | \[ \frac {s^3 A^2}{m^2 kg} \] |
| kapacitivnost | C | farad | F | \[ \frac{C}{V} \] | \[ \frac {s^4 A^2}{m^2 kg} \] |
| magnetni (pre)tok | ΦM | weber (veber) | Wb | \[ V s \] | \[ \frac {m^2 kg}{s^2 A} \] |
| gostota magnetnega (pre)toka | B | tesla | T | \[ \frac {Wb}{m^2} = \frac {V s}{m^2} \] | \[ \frac {kg}{s^2 A} \] |
| induktivnost | L | henry (henri) | H | \[ \frac {Wb}{A} = \frac {V s}{A} \] | \[ \frac {m^2 kg}{s^2 A^2} \] |
| celzijeva temperatura | t | stopinja celzija | °C | \[ K - 273.15 \] | |
| svetlobni tok | Φ | lumen | lm | \[ cd sr \] | \[ cd \] |
| osvetljenost | E | luks | lx | \[ \frac{lm}{m^2} = \frac{cd sr}{m^2} \] | \[ \frac{cd}{m^2} \] |
| radioaktivnost (št. razpadov na čas. enoto) | A | bekerel | Bq | \[ \frac {1}{s} \] | |
| absorbiran odmerek (ionizirajočega sevanja) | D | gray (grej) | Gy | \[ \frac {J}{kg} \] | \[ \frac {m^2}{s^2} \] |
| ekvivalentni odmerek (ionizirajočega sevanj) | H | sievert (sivert) | Sv | \[ \frac {J}{kg} \] | \[ \frac {m^2}{s^2} \] |
| katalitična aktivnost | Akt k | katal | kat | \[ \frac {mol}{s} \] |
| veličina | oznaka veličine | enota | oznaka enote | druge enote | osnovne enote |
|---|---|---|---|---|---|
| tlak, pritisk | p | bar | bar | \[ 10^5 Pa \] | \[ 10^5 \frac {kg}{m s^2} \] |
| energija | W | vatna ura | Wh | \[ 1 \frac{J}{s} 3600 s = 3600 J \] | |
| energija | W | elektronvolt | eV | \[ 1.6 \cdot 10^{-19} J \] | |
| energija | W | kalorija | cal | ||
| temperatura | T | fahrenheit (farenhajt) | °F | \[ \frac {5}{9} (x - 32) °C \] | \[ \frac {5}{9} (x + 459.67) K \] |
Stalnice
| stalnica | oznaka | vrednost |
|---|---|---|
| težnostna | G | \[ 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{N m^2}{kg^2} \] |
| težni pospešek na Zemlji | g | \[ 9.81 \frac{m}{s^2} \] |
| hitrost svetlobe v brezzračnem prostoru | c | \[ 299792458 \frac{m}{s} \] |
| osnovni naboj | \(e_0\) | \[ 1.60 \cdot 10^{-19} A s \] |
| Avogadrovo število | \(N_A\) | \[ 6.02214076 \cdot 10^{26} \frac{1}{kmol} \] |
| splošna plinska | R | \[ 8310 \frac{J}{kmol\cdot K} = 8.310 \frac{kPa \cdot l}{mol \cdot K} \] |
| električna (influenčna) | \(ε_0\) | \[ 8.85 \cdot 10^{-12} \frac{A s}{V m} \] |
| magnetna (indukcijska) | \(μ_0\) | \[ 4 \pi \cdot 10^{-7} \frac{V s}{A m} \] |
| Boltzmannova | \(k_{\mathrm{B}}\) | \[ 1.38 \cdot 10^{-23} \frac{J}{K} \] |
| Planckova | h | \[ 6.63 \cdot 10^{-34} J s = 4.14 \cdot 10^{-15} eV s \] |
| Stefanova | ο | \[ 5.67 \cdot 10^{-8} \frac{W}{m^2 K^4} \] |
| poenotena atomska masna enota | \(m_u = 1 u\) | \[ 1.66054 \cdot 10^{-27} kg = 931.494 \frac{Me V}{c^2} \] |
| lastna energija atomske enote mase | \(m_u c^2\) | \[ 931.494 Me V \] |
| masa elektrona | \(m_e\) | \[ 9.109 \cdot 10^{-31} kg = \frac {1 u}{1823} = 0.5110 \frac{Me V}{c^2} \] |
| masa protona | \(m_p\) | \[ 1.67262 \cdot 10^{-27} kg = 1.00728 u = 938.272 \frac{Me V}{c^2} \] |
| masa nevtrona | \(m_n\) | \[ 1.67493 \cdot 10^{-27} kg = 1.00866 u = 939.566 \frac{Me V}{c^2} \] |