Naravoslovje

Okolica mora z neko silo delovati na telo, da to telo z neko maso spravi v (ali vpliva na) gibanje.

Opazovalni sistemi

Inercialni opazovalni sistemi se gibljejo premo in enakomerno drug proti/od drugemu/ga, ne pospešujejo.

Galilejevski sistemi

Galilejeve transformacije veljajo za nepospešene (inercialne sisteme), ter pri majhnih hitrostih (pomeni, da ne blizu svetlobni hitrosti, kjer jih nadomestijo druge transformacije – Lorentzeve?).

\[ \vec r = \vec r' + \vec r_0 \implies \vec r' = \vec r - \vec r_0 \] \[ \vec r' = \vec r + \vec r_0' \implies \vec r = \vec r' - \vec r_0' \]

\[ \vec r' = \vec r - \vec r_0 \implies \frac{\d \vec r'}{\d t} = \frac{\d \vec r}{\d t} - \frac{\d \vec r_0}{\d t} \implies \vec v' = \vec v - \vec v_0 \]

Pospeški so v vseh inercialnih sistemih enaki (ker en sistem ne pospešuje v primerjavi z drugim).

\[ \vec a' = \vec a - \vec a_0 = \vec a \]

Pospešeni sistemi

(Neinercialni sistemi)

Če opazovalni sistem pospešuje, ima torej sistemski pospešek, se pojavi sistemska sila. \[ \vec a' = \vec a - \vec a_{sis.} \]

Coriolisov pojav

Do Coriolisovega pojava pride v vrtečem se (torej pospešenem) sistemu. Imenujemo ga tudi Coriolisova sila po navidezni sili, ki pridi v poštev pri računanju v takšnih sistemih.

\[ \vec F_{Co} = - 2 m (\vec \omega \times \vec v) \]

Sile

Sila je učinek/vpliv okolice, teles v okolici na drugo telo. V galilejevskih (inercialnih) opazovalnih sistemih ni “skrivnostnih” sil brez določenega telesa – vsaka sila ima svoje izvorno telo (v pospešenih sistemih imamo še sistemski pospešek, ki povzroča navidezno sistemsko silo).

Masa je lastnost telesa, da se upira pospešovanju – vztrajnost (inercija). Teža je sila okolice, sorazmerna z maso (težnostni pospešek je neodvisen od mase).

Težišče: \[ \vec r^* = \frac{\sum m_i \vec r_i}{\sum m_i} = \frac{\int \d m \vec r}{\int \d m}; M = \int \d m \] Drugi Newtonov zakon za gibanje težišča: težišče v gibanje spravijo le zunanje sile $$ F_{zun.} = M a* Notranje sile ne opravljajo dela, če je telo togo.

lepenje (ob mirovanju)	\[ F_{l, max} = k_l F_N \]
trenje (ob gibanju)	\[ F_{tr} = k_{tr} F_N \]
količnik trenja/lepenja	\[ k_l \geq k_{tr} \]
Hookov zakon	\[ \vec F_{vzmet} = -k_{vzmeti} \vec{x} \]

\[ g(r) = g \frac{r_z^2}{r^2} \] \[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \] \[ \frac{r^3}{t_0^2} = \text{stalno} \]

\[ F = k x \] \[ F_tr = k_tr F_n \] \[ \vec{F} = m \vec{a} \] \[ \vec{G} = m \vec{v} \] \[ \vec{F} \Delta t = \Delta \vec{G} \] \[ M = r F \sin \alpha \] \[ \Delta p = \rho g h \]

\[ F = p S \] \[ F_v = \rho_{\text{tek.}} g V \] \[ \Delta p = \rho g h \]

Mehanika

• Opis gibanja: kinematika
• Napoved gibanja: dinamika

\[ x = x_0 + v_0 t + \frac {a t^2}{2} \] \[ v = v_0 + a t \]

\[ v^2 = v_0^2 + 2 a (x - x_0) \]

Povprečna hitrost na časovnem odseku: \[ \overline{\vec v} = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \]

Za razliko od povprečne hitrosti se prava hitrost nanaša na trenutek, ko gre časovni odsek proti nič: \[ \vec v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{\d \vec r}{\d t} \] \[ \vec v = (v_x, v_y, v_z) = \left( \frac{\d x}{\d t}, \frac{\d y}{\d t}, \frac{\d z}{\d t} \right) \]

Podobno velja tudi za pospešek in vse nadaljne časovne odvode poti: \[ \overline{\vec a} = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \] \[ \vec a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} = \frac{\d \vec v}{\d t} \] \[ \vec a = \left( \frac{\d v_x}{\d t}, \frac{\d v_y}{\d t}, \frac{\d v_z}{\d t} \right) = \left( \frac{\d^2 x}{\d t^2}, \frac{\d^2 y}{\d t^2}, \frac{\d^2 z}{\d t^2} \right) \]

Pospešek, ki je vzporeden hitrosti, zgolj spreminja velikost hitrosti, nevzporeden pospešek pa tudi spreminja smer. \[ \sin \d \phi = \frac{| \vec a | \d t}{| \vec v |} \implies \d \phi = \frac{a}{v} \d t \implies a = \frac{\d \phi}{\d t} v = \omega v \]

položajni vektor	\[ \vec r = \vec r_0 + \int_{t_z}^{t_k} \vec v \d t + \int_{t_z}^{t_k} \vec a \frac{t^2}{2} \]
pot [\(m\)]	\[ s = \int_{\vec r_z}^{\vec r_k} \lvert \d \vec r \rvert = \int_{\vec r_z}^{\vec r_k} \d s \] \[ \d s^2 = \d x^2 + \d y^2 + \d z^2 \]
hitrost (spreminja vektor položaja) [\(\frac{m}{s}\)]	\[ \vec v = \vec r '(t) = \frac{\d \vec r}{\d t} = \vec v_z + \int_{t_z}^{t_k} \vec a \d t \] \[ \vec v^2 = \vec v_0^2 + \int_{t_z}^{t_k} 2 \vec a \d x \] \[ \overline{\vec v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \]
pospešek (spreminja smer in velikost hitrost) [\(\frac{m}{s^2}\)]	\[ \vec a = \vec v '(t) = \frac{\d \vec v}{\d t} \] \[ \overline{\vec a} = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \]

Navor

\[ \vec M = \vec r \times \vec F = m \vec \alpha r^2 = J \vec \alpha \]

Energije

\[ A = \Delta W_k + \Delta W_p + \Delta W_{pr} + ... \] \[ A = - p \Delta V \]

delo (sprememba energije) [\(\frac{kg m^2}{s^2} = Nm = J\)]	\[ A = \vec{F} \vec{s} = F s \cos \varphi = \Delta W \]
moč [\(\frac{J}{s} = W\)]	\[ P = \frac{\d A}{\d t} \] \[ \overline{P} = \frac{A}{\Delta t} \]

\[ P = \frac{\d A}{\d t} = \frac{\d F s}{\d t} = F \frac{\d s}{\d t} = F v \]

\(W = W_k + W_p = M_Z \frac{v^2}{2} - G \frac{M_S M_Z}{r}\) (npr. v osončju):

• \(W < 0\): vezan sistem (elipsa)
• \(W = 0\) (parabola)
• \(W > 0\): prost sistem (hiperbola)

Kinetična energija

Kinetična energija je lastnost gibajočega se telesa.

\[ W_k = \frac {m v^2}{2} \]

Potencialna težnostna energija

Potencialna energija ima naravno izhodišče (\(W_{p, g} = 0\)) neskončno daleč stran od izvora težnosti, kjer gre teža proti nič (\(r_1 \rightarrow \infty\)), in je tem bolj negativna, bližje, kot smo izvoru težnosti:

\[ \vec F_g = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \frac{\vec r_{1,2}}{r} \]

\[ W_{p, g} = - \frac{G m_1 m_2}{r_2} \]

Za “ravno Zemljo” (\(\Delta h << r_Z\)) – izhodišče je po dogovoru na ničelni nadmorski višini: \[ g = \frac{G M_Z}{r_Z^2} \] \[ W_{p, g} = m g h \] \[ \Delta W_{p, g} = \int_{z_0}^z m g \d z = m g (z - z_0) \]

Za Sončev sistem velja: \[ W_k + W_p = \mathrm{stalnica} \] kjer je \(W_k\) vedno pozitivna, \(W_p\) pa vedno negativna.

Potencialna prožnostna energija

Izhodišče je v ravnovesni legi (\(x = 0\)).

\[ \Delta W_{pr} = \frac{1}{2} k x^2 \]

Entalpija

\[ H = W_n + p V \] \[ \Delta H = \Delta W_n + p \Delta V \]

Gibalna količina

V nasprotju z energijami je gibalna količina vektor.

\[ \vec G = m \vec v \] \[ \vec F = m \vec a = m \frac{\d \vec v}{\d t} = \frac{\d (m \vec v)}{\d t} = \frac{\d \vec G}{\d t} \]

\[ \int_{t'}^{t} \vec F_{zun.} \d t = \Delta \vec G = m \Delta \vec v \] Gibalna količina zaprtega sistema se ohranja (če ni pretvorb energij), spremenijo jo lahko le zunanje sile (torej se lahko spremeni le, če sistem ni zaprt), ker se notranje sile med sabo izničijo..

• Neprožni trk: ohranja se gibalna količina, kinetična energija se ne ohranja
• Prožni trk: ohranjata se gobalna količina in kinetična energija

Termodinamika

Temperatura je termodinamska spremenljivka, toplota pa ne. Toplota je način prehajanja energije, vrsta dela.

Povprečna kinetična energija molekul: \[ p = \frac{2}{3} \frac{N}{V} < W_{k1} > \]

Kinetična opredelitev temperature: \[ < W_{k 1} > = \frac{3}{2} k_B T \]

\[ \Delta W_n = Q_{stalna V} = m c_V \Delta T \]

\[ Q = m c_p \Delta T \]

Za popolni plin velja: \[ c_p - c_V = \frac{R}{M} \]

Splošna plinska enačba: \[ \frac{p V}{T} = \mathrm{stalnica} = N k_B = \frac{m}{M} N_A k_b = \frac{m}{M} R \] \[ p V = n R T = \frac{m}{M} R T \]

	enačba stanja	toplota	delo	\[\Delta W_n\]
stalen \(p\)	\[ \frac{V}{T} \]	\[ Q = \Delta H = m c_p \Delta T \]	\[ - p \Delta V \]	\[ m c_V \Delta T \]
stalna \(V\)	\[ \frac{p}{T} \]	\[ Q = \Delta W_n = m c_V \Delta T \]	/	\[ m c_V \Delta T; \Delta W_n = Q_{stalna V} \]
stalna \(T\)	\[ p V \]	\[ Q = - A = \frac{m}{M} R T \ln(\frac{V}{V'}) \]	\[ A = - \int{p \d V} = - p_0 V_0 \int{\frac{\d V}{V}} = \frac{m}{M} R T \ln(\frac{V}{V'}) \]

\[ \frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta T \] \[ \frac{\Delta V}{V} = \beta \Delta T \]

• \(\alpha\) – lienarni količnik dolžinskega raztezka
• \(\beta\) – linearni količnik prostorninskega raztezka

\[ \beta = 3 \alpha \]

Entropija

Entropija je termodinamična količina neurejenosti, naključnosti, nepovratnosti. V zaprtem sistemu se vedno povečuje.

\[ \d S \geq \frac{\mathrm{đ} Q}{T} \] \[ \Delta S \geq \int{ \frac{\mathrm{đ} Q}{T} } \]

Vrtenje

Kot \(\phi\) ni vektor, je pa vektor njegov diferencial \(\vec{d \phi}\).

kot [rd]	\[ \phi = \frac{l}{r} \] \[ \phi = \phi_0 + \omega_0 t + \frac{\alpha}{2} t^2 \]
kotna hitrost [\(\frac{1}{s}\)]	\[ \vec \omega = \vec \phi '(t) = \frac{\vec {\d \phi}}{dt} \] \[ \overline \omega = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{2 \pi}{t_o} = 2 \pi \gamma = \omega_0 + \alpha t \]
kotni pospešek [\(\frac{1}{s^2}\)]	\[ \vec \alpha = \vec \omega '(t) = \frac{\vec {\d \omega}}{\d t} \] \[ \overline{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} \]
frekvenca [Hz]	\[ \gamma = \frac{N}{\Delta t} = \frac{1}{t_o} \]

Sredobežni (centripetalni) pospešek, ki sploh povzroča kroženje: \[ a_r = \omega v = \frac{v_0^2}{r} = - \omega^2 r \]

Obodna hitrost: \[ \vec{v} = \frac{\d \vec{r}}{\d t} = r \frac{\vec{\d \phi}}{\d t} = \vec r \times \vec{\omega} \]

Obodni pospešek: \[ \vec{a_t} = \frac{\vec{\d v}}{\d t} = r \frac{\vec{\d \omega}}{t} = \vec r \times \vec{\alpha} \]

Coriolisova sila: \[ \vec F_{Coriolis} = -2 m (\vec{\omega} \times \vec{v}) \]

Vztrajnostni moment [\(kg m^2\)] je porazdelitev mase glede na os vrtenja:

\[ W_{k, rot} = \frac{1}{2} J \omega^2 \] \[ J_{točka, cev} = m r^2 \] \[ J_{valj} = \frac{1}{2} m r^4 \] \[ J_{krogla} = \frac{2}{5} m r^2 \]

Steinerjev izrek: če je težišče telesa izmaknjeno od osi vrtenja, je vztrajnostni moment telesa enak vsoti tistega, ki bi bil, če bi bila os v težišču in tistega, če telo vzamemo kot točko (težišče) ki kroži na neki razdalji os osi: \[ J = J^* + m r^2 \]

\[ A = \Delta W_k = \frac{1}{2} J (\Delta \omega)^2 = \int \vec M \vec{\d \phi} \] \[ P = \frac{\d A}{\d t} = \frac{\vec M \vec{\d \phi}}{\d t} = \vec M \vec \omega \] \[ \vec M = J \vec \alpha \]

Vrtilna količina je gibalna količina porazdeljena po vrtečem se telesu: \[ \vec \Gamma = \vec r \times \vec G = \int \d m \vec r \times \vec v = J \vec \omega \] \[ \vec M = \vec r \times \vec F = \vec r \times \frac{\d \vec G}{\d t} = \frac{\d \vec \Gamma}{\d t} \] \[ \vec \Gamma = \vec \Gamma_{tirna} + \vec \Gamma_{lastna}^* \] \[ \vec \Gamma_{tirna}^* = \int \d m \vec r_T \times \vec v_T \] \[ \sum \vec r^* \times \vec F_{zun} = \vec r^* \times \sum \vec F_{zun} \]

Ubežne hitrosti

(kozmične hitrosti)

1. ubežna hitrost \(v_I\): kako hitro bi se morala Zemlja vrteti, da bi sredobežni pospešek premagal težnost 2. ubežna hitrost \(v_{II}\): pobeg Zemlji glede na Zemljo 3. ubežna hitrost \(v_{III}\): pobeg Soncu glede na Sonce

Ravnovesje

• labilno r. (npr. na vrhu hriba)
• indiferentno r. (npr. na ravnini)
• stabilno r. (npr. na dnu doline)

Deformacije

napetost, prožnostni modul, deformacija (?)	\(\frac{\vec F}{\vec S} = k \frac{\vec F}{\vec S}\)
nateg (prožnost E [\(\frac{N}{m^2}\))	\(\frac{F_x}{S_x} = E \frac{\Delta x}{\d x}\)
strižna deformacija	\(\frac{F_y}{S_x} = G \frac{\Delta y}{\d x}\)
vsestransko stiskanje (stisljivost \(\chi\) [\(\frac{m^2}{N}\)])	\(\frac{F}{S} = K \frac{\Delta V}{V} = - K \chi \Delta p\)
Pasonov količik	\(\frac{\Delta y}{\d y} \frac{\Delta z}{\d z} = - \mu \frac{\Delta}{\d x}\)

\[ K = \frac{E}{3 (1 - 2 \mu} \] \[ G = \frac{E}{2 (1 + \mu)} \]

Vzvoj (torzija; npr. zvijanje palice okoli njene osi): \[ M = - D \phi \] \[ D = \frac{1}{2} \pi G \frac{R_0^4}{l} \left[ \frac{N m^4}{m^2 m} = N m \right] \]

Nihanje

\[ \gamma = \frac{N}{\Delta t} = \frac{1}{t_0} \] \[ \omega = \frac{2 \pi}{t_0} = 2 \pi \gamma \]

\[ x(t) = A \sin (\omega t + \delta) \] \[ v(t) = \frac{\d x}{\d t} = v_0 \cos (\omega t + \delta) = \omega A cos(\omega t + \delta) \] \[ a(t) = \frac{\d v}{\d t} = a_0 \sin (\omega t + \delta) = - \omega^2 A \sin (\omega t + \delta) = - \omega^2 x(t) \]

\[ F = m a = -m \omega^2 x = - k x \] \[ W = W_k + W_p = \frac{1}{2} m \omega^2 \left( \cos^2 (\omega t + \delta) + \sin^2 (\omega t + \delta) \right) = \frac{1}{2} m \omega^2 \]

Matematično nihalo: \[ \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} \]

Vzmetno nihalo: \[ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

Vzvojno nihalo: \[ \omega_0 = \sqrt{\frac{D}{J}} \]

Dušeno nihanje

\[ W = W_0 \mathrm{e}^{-2 \beta t} \] \[ \omega '^2 = \omega^2 - \beta^2 \]

• nadkritično dušenje: \(\beta > \omega\) \[ s = s_0 \mathrm{e}^{- \beta t} \cosh (\omega t + \delta) \]
• kritično dušenje: \(\beta = \omega\) \[ s = s_0 \mathrm{e}^{- \beta t} + s_2 t \mathrm{e}^{- \beta t} \]
• podkritično dušenje: \(\beta < \omega\) \[ s = s_0 \mathrm{e}^{- \beta t} \cos (\omega t + \delta) \]

Vsiljeno nihanje

\[ \tan \delta = \frac{2 \beta \omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \]

Tekočine

Tlak [\(\frac{N}{m^2} = Pa\)]: \[ p = \frac{\d F}{\d S} \]

Hidravlika: \[ \frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1} \]

Vzgon – nasprotno enak teži izpodrinjene tekočine: \[ \Delta p = \rho g h \] \[ \vec F_{vzg} = \int p_{hidrostat.} \d \vec S \]

Bernoullijeva enačba: \[ A_{tek.} = - \Delta p V = \Delta W_k + \Delta W_pg = \rho V \Delta (\frac{v_2}{2} + \rho V g \Delta h \] \[ \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 + p_1 = stalno \]

\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{v_1}{v_2} \]

Gradient hitrosti zaradi strižnih sil: $$ =

Upor:

• linerani zakon (Stokes): \(F_u^{(1)} = 6 \pi R \eta v\)
• kvadratni zakon: \(F_u^{(2)} = \frac{1}{2} \rho v^2 \pi R^2 C_u\)

Laminarni in turbolentni tok

Reynoldsovo število: \[ {Re} = \frac{\rho}{\eta} 2R v \]

• \({Re} < 0.1\): laminaren tok, linearni zakon upora
• \(0,1 < {Re} < 10^3\): mešani tok
• \(10^3 < {Re}\): turbolentni tok, kvadratni zakon upora

Elektrika

V mikrosvetu je težnost zanemarljiva v primerjavi z električno silo.

Električno polje [N/As = V/m] – Coulombov zakon: \[ \vec E_{\mathrm{toč.}} (\vec{r}) = \frac{e}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \frac{\vec{r}}{|r|} \] \[ \vec E_{\mathrm{porazd.}} = \int{ \vec{\d E} } = \int{ \frac{\d e}{4 \pi \epsilon_0 \vec{r}^2} } \] \[ \vec{E} (\vec{r}) = \sum{\vec{E_i} (\vec{r})} \]

Enačba za električno silo je na moč podobna enačbi za težo, \(\vec{F_g} (\vec{r}) = m \vec{g} (\vec{r})\), kjer imamo maso v težnostnem polju. \[ \vec{F_e} (\vec{r}) = e \vec{E} (\vec{r}) \]

Električna sila je konzervativna sila: \[ \oint e \vec{E} \d \vec{s} = 0 = A_e \]

Električni dipolni moment, kjer je \(d\) razdalja med poloma, oz. nasprotnima nabojema: \[ \vec{p_e} = e d \]

\[ \vec{M_e} = e \vec{E} d \sin(\theta) = \vec{p_e} \times \vec{E} \] \[ W_e = - A_e = - \int{ \vec{p_e} \times \vec{E} \vec{\d \theta} } = - \int{ p_e E \sin(\theta) \d \theta } = p_e E \cos(\theta) = - \vec{p_e} \vec{E} \]

Gostota el. naboja po dolžini, površini in prostornini: \[ \lambda = \frac{\d e}{\d l}; \sigma = \frac{\d e}{\d S}; \rho_e = \frac{\d e}{\d V} \] \[ \vec E_{\mathrm{vodnik}} (\vec r) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 \vec r}; r << l \] \[ E_{\mathrm{plošča}} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \]

Električni pretok [As]: \[ \phi_e = \epsilon_0 \int{ \vec{E} \vec{\d S}} \]

• Primer za kroglo, v sredini katere je naboj: \[ \epsilon_0 \oint{ \vec{E} \vec{\d S} } = \epsilon E(r) 4 \pi r^2 = e \]
• Primer za ploščo: \[ \epsilon_0 \oint{ \vec{E} \vec{\d S} } = \epsilon_0 2 E \d S = \sigma \d S = \d e \]

Električna napetost med dvema točkama [J/As = V] je razlika med el. potencialoma: \[ W_{\mathrm{p, e}} = - A_e = - \int{ \vec{F} \vec{\d s} } = \int{ e \vec{E} \vec{\d s} } \implies - \int_{\vec r'}^{\vec r} \vec{E} \vec{\d s} = U (\vec{r}, \vec{r'}) \] \[ W_{\mathrm{p, e}} = e U \]

Skalarno polje električnega potenciala: \[ V(\vec{r}) = - \int_{-\infty}^{\vec r} \vec{E} \vec{\d s} \] \[ W_{\mathrm{p, e}} (\vec{r}) = e V(\vec{r}) \]

Za točkast naboj: \[ V_{\mathrm{točk.}}(\vec r) = \frac{e}{4 \pi \epsilon_0 r} \]

Snov v električnem polju

Snovi lahko ločimo po gibljivosti električnega naboja:

• Superprevodniki: upor je po opredelitvi ničen

• Prevodniki (kovine): naboji se prosto gibljejo po snovi (dipol makroskopskih velikosti) V kondenzator vstavimo plošče prevodnika: naboj v prevodniku se prerazporedi, tako da se na strani prevodnika pri pozitivno nabitem delu kondenzatorja naberejo elektroni – tako dobimo dva nova “kondenzatorja” z manjšim razmikom \[ U_C = \frac{e (d - d_p)}{\epsilon_0 S} \]

• Polprevodniki

• Izolatorji / dielektriki

  • polarni: trajen dipolni moment
  • nepolarni: brez trajnega dipolnega momenta, dobi ga / je induciran v el. polju

  Dielektričnost \(\epsilon \in [1, \infty)\): pove, koliko se snov (dielektrik) odzove na zunanje el. polje (\(\epsilon\) vakuma je 1, prevodnika pa \(\infty\)) Gaussov zakon popravljen za dielektrike: \[ \epsilon_0 \oint \epsilon \vec E \vec{\d S} = \oint \vec D \vec{\d S} = e \] Gostota el. polja: \[ \vec D = \epsilon \epsilon_0 \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \] Polarizabilnost(0 za vakum, proti \(\infty\) za prevodnike): \[ \vec P = (\epsilon - 1) \epsilon_0 \vec E \] Povsod, kjer nastopa \(\epsilon_0\), se ga pomnoži z \(\epsilon\).

V polarnem dielektriku el. polje dipole uredi/usmeri, v nepolarnem pa jih influencira, zato pri obeh vrstah lahko govorimo o isti dielektrični stalnici.

Polarizacija kot prostorninska gostota dipola: \[ \frac{e_R}{S} = \frac{N}{V} p_e \]

Navor el. polja na dipol: \[ \vec M = \vec{p_e} \times \vec E \] \[ E_e = - \vec{p_e} \vec E \]

Praviloma višja, kot je temperatura snovi, bolj se delci (dipoli) gibljejo in večja je dielektričnost snovi, saj je potrebne manj energije, da se dipoli poravnajo z el. poljem.

Elektrodinamika

Električni tok [A] je hitrost prehajanja naboja, a ni vektor \[ I = \frac{\d e}{\d t} = \rho_e v S \]

Električni tok je vedno laminaren.

Gostota el. toka: \[ \vec{j_e} = \frac{I}{S} = \rho_e \vec v = e w_e <\vec v>; w_e = \frac{N_+ - N_-}{V} \]

Elektroni se v npr. navadnih žicah gibljejo zelo počasi (~ \(10^{-4} \frac{m}{s}\)), se pa motnja širi s približno svetlobno hitrostjo. Poleg hitrosti pa imajo elektroni še neko temperaturo, kar doprinese k hitrostni širjenja motnje.

\[ R = \zeta \frac{l}{S} \] \[ j = \frac{\d I}{\d S}; \frac{U}{l} = E \implies \frac{\vec E}{\zeta} = \sigma \vec E \] \(\zeta\) je specifični upor/upornost [\(\Omega m\)]

Električni krogi

Tok po celotnem el. krogu je stalen, ker se elektroni ne izgubljajo.

Vsota napetosti po krogu je enaka nič: \[ \oint \vec E \vec{\d s} = 0 \implies \sum_i U_i = 0 \]

Napetost na porabniku je enaka \(U = - I R\).

\[ P = \frac{\d A_e}{\d t} = \frac{U \d e}{\d t} = U I = - I^2 R \]

Kondenzator

Kondenzator deluje kot hranilnik naboja, oz. v tokokrogu kot “prožnost”

• ploščati (kjer je \(d\) razmak med ploščama in \(S\) njuna ploščina): \[ E_C = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}\] \[ |U| = | - \int \vec E \d \vec s | = E d \] \[ C = \frac{\epsilon_0 S}{d} \] \[ |U| = \frac{\sigma e}{\epsilon_0} \frac{d}{S} \implies e = C U \] \[ A = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 S} (d_2 - d_1) = \Delta W_{p, e} \implies W_C = \frac{e^2 d}{2 \epsilon_0 S} = \frac{e^2}{2 C} = \frac{e U}{2} = \frac{C U^2}{2} \] \[ \int \d A_e = \int U \d e = \int U C \d U = \frac{C U^2}{2} \]
• valjasti (kjer je notranji polmer \(r\) in zunanji \(R\): \[ E = \frac{e}{2 \pi \epsilon_0 l r} \] \[ |U| = \frac{e}{2 \pi \epsilon_0 l} \ln \frac{R}{r} \]
• krogelni (kjer je \(r\) polmer notranje krogle in \(R\) zunanje): \[ E = \frac{e}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \] \[ |U| = \frac{e}{4 \pi \epsilon_0} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R}) \] \[ C = \frac{4 \pi \epsilon_0}{\frac{1}{r} - \frac{1}{R}} \]

\[ W_e = \frac{W_C}{V} = \frac{e^2 d \epsilon_0}{2 \epsilon_0^2 S S d} = \frac{\epsilon_0 E^2}{2} \]

Prehodni pojavi v kondenzatorju

Karakteristični čas \(\tau = R C\)

Polnjenje \[ U_C + U_R = 0 \implies \frac{e}{C} - I R = 0 \implies e = - \frac{\d e}{\d t} R C \implies - \int_0^e \frac{\d e}{e} = \int_0^t \frac{\d t}{R C} \implies \ln \frac{e}{e_0} = - \frac{t}{R C} \implies e = e_0 \left( 1 - e ^{- t / (R C)} \right) \] \[ e = e_0 \left( 1 - e ^{- t / \tau} \right) \]

Praznenje

\[ e = e_0 e^{- t / \tau} \]

Elektromagnetizem

Magnetno polje ustvari električni tok, oz. naboj.

S silnicami magnetnega polja predstavimo gostoto mag. polja.

Silnice magnetnega polja so vedno sklenjene (tečejo namreč od severnega pola na južni pol in tudi skozi magnet nazaj). Magnetnih monopolov (najverjetneje) ni.

\[ \vec B_1 = e (\vec v_1 \times \vec r) \frac{\mu_0}{4 \pi r^2 r} \] \[ \mu_0 \epsilon_0 = \frac{1}{c^2} \]

Polje okoli vodnika: \[ \vec B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{vodnik} \frac{\vec r \times \vec{I \d l}}{r^3} = \frac{I \mu_0 a^2}{4 \pi a^3} \int_{- \pi / 2}^{\pi /2} \frac{\d \phi \cos \phi}{cos^2(\phi)} \] \[ B_{vodnik} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\]

Magnetna sila: \[ \vec{F_m} = e_2 \vec v_2 \times \vec B_1 \implies F_m = e v B \sin(\phi) \] \[ F_{m 1 2} = \frac{e_1 e_2 \mu_0}{4 \pi r^2} (\vec{v_2} \times (\vec{v_1} \times \frac{\vec r}{r})) \]

Lorentzova sila: \[ \vec{F} = e \vec E + e \vec v \times \vec B \]

Sila na vodnik: \[ \vec{F_m} = N \vec{F_1} = N_e l S e_0 v B = \vec{j_e} l S \vec B = \vec{I l} \vec B \]

Navor na zanko: neodvisen od njene oblike, odvisen le od ploščine (ki je lahko poljubno iz-/vbočena, le da je napeta na vodnik zanke) \[ |\vec M| = \vec F_{m 1} b = I a B b = I S B \] \[ \vec M = \vec I S \times \vec B \]

Magnetni dipol: \[ \vec{p_m} = \vec I \vec S \] \[ \vec M = \vec I S \times \vec B = \vec{p_m} \times \vec B \] \[ W_m = - \vec{p_m} \vec B \]

V homogenem magnetnem polju na gibajoč se naboj deluje stalna sila na eno stran – sredobežna sila, ki povzroči, da naboj v magnetnem polju kroži: \[ F_c = F_m \implies m \frac{v^2}{r} = e v B \implies r = \frac{m v}{e B} \] Ciklotronska frekvenca: \[ \nu_c = \frac{e B}{2 \pi m}; \omega = \frac{e B}{m} \]

Hallova napetost: ravnovesno stanje, kjer magnetna in električna sila kažeta vsaksebi in sta enaki \[ F_m = F_e \implies e v B = e E \] \[ U_H = E d = B d v \]

Amperov zakon za tuljavo (kjer gledamo \(l'\) in \(N'\) na neko enoto: \[ \oint \vec B \vec{\d s} = B l' = \mu_0 N' I \] \[ B = \frac{N' \mu_0 I}{l'} t = L \frac{\d I}{\d t} I \d t \implies A = L \int_0^I I \d I \] \[ W_m = L \frac{I^2}{2} \]

Tuljava v tuljavi: \[ L_{2 1} = \frac{N_2 B_1 S_2}{I_1} = \frac{\mu_0 N_1^2 I_1 N_2 S_2}{l_1 I_1} = \frac{\mu_0 N_1 N_2 S_2}{l_1} \]

Snov v magnetnem polju

\(\mu\): permeabilnost; večja kot je, bolj snov poveča mag. polje, ker so v snovi mag. dipoli \[ \mu_0 \rightarrow \mu \mu_0 \] Magnetni dipol: \[\vec p_m = I \vec S = e_0 \upsilon \pi r^2 \frac{v}{2 \pi r} = \frac{e_0 r v}{2} = \frac{e_0 \Gamma}{2 m_e} \]

Izmenični tok

\[U = U_0 \sin(\omega t + \delta) \]

Kondenzator: \[ U + U_C = 0 \implies U_0 \sin(\omega t) = \frac{e}{C} /\frac{\d}{\d t} \implies C \omega U_0 \cos(\omega t) = I \] \[ "R_C" = Z_C = \frac{U_0}{I_0} = \frac{1}{\omega C} \]

Tuljava: \[ U + U_L = 0 \implies U_= \sin(\omega t) = L \frac{\d I}{\d t} \implies - \frac{1}{\omega L} U_0 \cos(\omega t) = A I\] \[ "R_L" = Z_L = \omega L \]

\(U_C\) in \(U_L\) v tokokrogu z izmeničnim tokom nihata v protifazi.

Električni nihajni krog

\[ U = U_0 \sin(\omega t) \] \[ I = I_0 \sin(\omega t + \delta) \] \[ \omega^2 = \frac{1}{L C} \]

Primerjava vzmetnega nihala v mehaniki in el. nihajnega kroga:

vzmetno	el. nih. krog
\[ k \]	\[ \frac{1}{C} \]
\[ m \]	\[ L \]
\[ F \]	\[ U \]
\[ W_k \]	\[ W_m (L) \]
\[ W_{pr.} \]	\[ W_e (C) \]
\[ x \]	\[ l \]
\[ v \]	\[ I \]

\[ P = U_0 \sin(\omega t + \delta) I_0 \sin(\omega t) = U_0 I_0 \left[ \sin^2(\omega t) \cos(\delta) + \cos(\omega t) \sin(\omega t) \sin(\delta) \right] = U_0 I_0 \left[ \sin^2(\omega t) \cos(\delta) + \frac{1}{2} \sin^2(2 \omega t) \sin(\delta) \right] \] \[ \overline{P} = \frac{1}{2} U_0 I_0 \cos(\delta) \] \[ P = U_{ef.} I_{ef.} \] \[ I_{ef.} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \implies U_{ef.} = R I_{ef.} = \frac{U_0}{\sqrt{2}} \]

El. nihajni krog v kompleksnem (glej tudi Skupna števila): \[ \phi = \omega t \] \[ U = U_0 e^{\mathrm{i} \phi} \] \[ I = I_0 e^{\mathrm{i} (\phi + \delta)} \] \[ Z_C = \frac{1}{\mathrm{i} \omega C} \] \[ Z_L = \mathrm{i} \omega L \] \[ |Z| e^{\mathrm{i} \delta} = R + \mathrm{i} \omega L + \frac{1}{\mathrm{i} \omega C} \]

Fizika delcev

\[ W_f = \mathrm{h} \nu \] \[ W_f = A_i + W_k \] \[ W_f = \Delta W_n \] \[ \Delta W_v = \Delta m c^2 \]

\[ N = N_0 2^{- \frac{t}{t_{1/2}}} = N_0 e^{- \lambda t} \] \[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \] \[ A = N \lambda \]

Jedrski razpadi

Razpad alfa; delec razpada je \(\alpha = ^4_2He_2^{2+}\): \[ ^{A}_{Z}X_N \rightarrow ^{A-4}_{Z-2}Y_{N-2} + ^4_2\mathrm{He}_2 \]

Razpad beta minus; delec razpada je \(\beta^{-} = e_0^{-}\): \[ ^A_ZX_N \rightarrow ^{A}_{Z+1}Y + e_0^{-} + \bar{\nu}_e \] \[ n \rightarrow p + e_0^{-} + \bar{\nu}_e \]

Razpad beta plus; delec razpada je \(\beta^{+} = e_0^{+}\): \[ ^A_ZX_N \rightarrow ^{A}_{Z-1}Y_{N+1} + e_0^{+} + \nu_e \] \[ p \rightarrow n + e_0^{+} + \nu_e \]

Razpad gama; delec razpada je foton \(\nu\): \[ X^{+} \rightarrow X + \nu \]

Računanje z negotovostmi

Meritve brez negotovosti ne obstajajo (posebno če so zvezne narave), zato so merski podatki brez negotovosti nepopolni, torej precej neuporabni ali vsaj nezaželjeni. Meritve pogosto nastopajo v obliki t.i. normalne porazdelitve, ki jo opišemo z Gaussovo krivuljo, ki ima en vrh nad izhodiščem (kjer je naše povprečje/večina meritev) in se na obeh straneh spušča vedno bližje nič, torej dlje, kot smo od izhodišča, večje kot je odstopanje meritve, manjša je verjetnost za takšno meritev; nikoli pa ni nič. Po dogovoru za negotovost vzamemo odsek okoli izhodišča, v katerega pade 2/3 vseh meritev.

Negotovosti so povezane/odvisne (korelirane) ali nepovezane/neodvisne.

Odvisne negotovosti seštevamo

• seštevanje/odštevanje količin: seštevanje absolutnih napak
• množenje/deljenje količin: seštevanje relativnih napak

Pri neodvisnih negotovostih seštevamo njihove kvadrate.

Enačbe lahko močno poenostavimo z upoštevanjem negotovosti in uporabo Taylorjeve vrste: \[ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} x + \frac{f''(a)}{2!} x^2 + \frac{f'''(a)}{3!} x^3 + ... \] V enačbi lahko zanemarimo člene od tistega naprej, ki je zadosti manjši od negotovosti.

Veličine in enote

Osnovne enote

Indukcija

Vodnik, ki ga vlečemo pravokotno na magnetno polje: \[ U_i = U_H = B l v \] \[ F_{zaviralna} = F_m = B l I_i = \frac{B^2 l^2 v}{R} \]

Zanka, ki kroži v magnetnem polju, z osjo, pravokotno na silnice mag. polja (v zanki se inducira izmenična napetost): \[ \vec v = \vec \omega \vec r \implies U_i = 2 U_H = 2 \omega r B a = B S \omega \cos(\phi) \] \[ \vec v \times \vec B = \omega r B \cos(\phi) \]

\(\vec H\): jakost Mag. polja, ki je neodvisna od snovi v prostoru \[ \oint \vec B \vec{\d S} = \mu_0 I \implies \oint \vec H \vec{\d S} = I \] \[ \oint \vec E_i \cdot \d \vec s = - \int \frac{\partial B}{\partial t} \d \vec S \]

Tuljava

Tuljava v tokogrogu deluje kot “vztrajnost”, saj se upira spremembam.

L: induktivnost tuljave \[ L = N^2 \frac{\mu_0 S}{l} \] \[ U_i = - \frac{\d \phi_m}{\d t} = - L \frac{\d I}{\d t} \]

\[ \tau = \frac{L}{R} \] “Polnjenje” tuljave \[ I = I_0 (1 - e^{- t/\tau}) \] “Praznenje” tuljave: \[ U_L + U_R = 0 \implies - L \frac{\d I}{\d t} - I R = 0 \implies L \frac{\d I}{\d t} = - I R \] \[ I = I_0 e^{- t/\tau} \]

Energija tuljave: \[ \d A = U \d e = U I \d t = P \d t = L \frac{\d I}{\d t} I \d t \implies A = L \int_0^I I \d I \] \[ W_m = L \frac{I^2}{2} \]

Tuljava v tuljavi: \[ L_{2 1} = \frac{N_2 B_1 S_2}{I_1} = \frac{\mu_0 N_1^2 I_1 N_2 S_2}{l_1 I_1} = \frac{\mu_0 N_1 N_2 S_2}{l_1} \]

Snov v magnetnem polju

\(\mu\): permeabilnost; večja kot je, bolj snov poveča mag. polje, ker so v snovi mag. dipoli \[ \mu_0 \rightarrow \mu \mu_0 \] Magnetni dipol: \[\vec p_m = I \vec S = e_0 \upsilon \pi r^2 \frac{v}{2 \pi r} = \frac{e_0 r v}{2} = \frac{e_0 \Gamma}{2 m_e} \]

Izmenični tok

\[U = U_0 \sin(\omega t + \delta) \]

Kondenzator: \[ U + U_C = 0 \implies U_0 \sin(\omega t) = \frac{e}{C} /\frac{\d}{\d t} \implies C \omega U_0 \cos(\omega t) = I \] \[ "R_C" = Z_C = \frac{U_0}{I_0} = \frac{1}{\omega C} \]

Tuljava: \[ U + U_L = 0 \implies U_= \sin(\omega t) = L \frac{\d I}{\d t} \implies - \frac{1}{\omega L} U_0 \cos(\omega t) = A I\] \[ "R_L" = Z_L = \omega L \]

\(U_C\) in \(U_L\) v tokokrogu z izmeničnim tokom nihata v protifazi.

Električni nihajni krog

\[ U = U_0 \sin(\omega t) \] \[ I = I_0 \sin(\omega t + \delta) \] \[ \omega^2 = \frac{1}{L C} \]

Primerjava vzmetnega nihala v mehaniki in el. nihajnega kroga:

vzmetno	el. nih. krog
\[ k \]	\[ \frac{1}{C} \]
\[ m \]	\[ L \]
\[ F \]	\[ U \]
\[ W_k \]	\[ W_m (L) \]
\[ W_{pr.} \]	\[ W_e (C) \]
\[ x \]	\[ l \]
\[ v \]	\[ I \]

\[ P = U_0 \sin(\omega t + \delta) I_0 \sin(\omega t) = U_0 I_0 \left[ \sin^2(\omega t) \cos(\delta) + \cos(\omega t) \sin(\omega t) \sin(\delta) \right] = U_0 I_0 \left[ \sin^2(\omega t) \cos(\delta) + \frac{1}{2} \sin^2(2 \omega t) \sin(\delta) \right] \] \[ \overline{P} = \frac{1}{2} U_0 I_0 \cos(\delta) \] \[ P = U_{ef.} I_{ef.} \] \[ I_{ef.} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \implies U_{ef.} = R I_{ef.} = \frac{U_0}{\sqrt{2}} \]

El. nihajni krog v kompleksnem (glej tudi Skupna števila): \[ \phi = \omega t \] \[ U = U_0 e^{\mathrm{i} \phi} \] \[ I = I_0 e^{\mathrm{i} (\phi + \delta)} \] \[ Z_C = \frac{1}{\mathrm{i} \omega C} \] \[ Z_L = \mathrm{i} \omega L \] \[ |Z| e^{\mathrm{i} \delta} = R + \mathrm{i} \omega L + \frac{1}{\mathrm{i} \omega C} \]

Fizika delcev

\[ W_f = \mathrm{h} \nu \] \[ W_f = A_i + W_k \] \[ W_f = \Delta W_n \] \[ \Delta W_v = \Delta m c^2 \]

\[ N = N_0 2^{- \frac{t}{t_{1/2}}} = N_0 e^{- \lambda t} \] \[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \] \[ A = N \lambda \]

Jedrski razpadi

Razpad alfa; delec razpada je \(\alpha = ^4_2He_2^{2+}\): \[ ^{A}_{Z}X_N \rightarrow ^{A-4}_{Z-2}Y_{N-2} + ^4_2\mathrm{He}_2 \]

Razpad beta minus; delec razpada je \(\beta^{-} = e_0^{-}\): \[ ^A_ZX_N \rightarrow ^{A}_{Z+1}Y + e_0^{-} + \bar{\nu}_e \] \[ n \rightarrow p + e_0^{-} + \bar{\nu}_e \]

Razpad beta plus; delec razpada je \(\beta^{+} = e_0^{+}\): \[ ^A_ZX_N \rightarrow ^{A}_{Z-1}Y_{N+1} + e_0^{+} + \nu_e \] \[ p \rightarrow n + e_0^{+} + \nu_e \]

Razpad gama; delec razpada je foton \(\nu\): \[ X^{+} \rightarrow X + \nu \]

Računanje z negotovostmi

Meritve brez negotovosti ne obstajajo (posebno če so zvezne narave), zato so merski podatki brez negotovosti nepopolni, torej precej neuporabni ali vsaj nezaželjeni. Meritve pogosto nastopajo v obliki t.i. normalne porazdelitve, ki jo opišemo z Gaussovo krivuljo, ki ima en vrh nad izhodiščem (kjer je naše povprečje/večina meritev) in se na obeh straneh spušča vedno bližje nič, torej dlje, kot smo od izhodišča, večje kot je odstopanje meritve, manjša je verjetnost za takšno meritev; nikoli pa ni nič. Po dogovoru za negotovost vzamemo odsek okoli izhodišča, v katerega pade 2/3 vseh meritev.

Negotovosti so povezane/odvisne (korelirane) ali nepovezane/neodvisne.

Odvisne negotovosti seštevamo

• seštevanje/odštevanje količin: seštevanje absolutnih napak
• množenje/deljenje količin: seštevanje relativnih napak

Pri neodvisnih negotovostih seštevamo njihove kvadrate.

Enačbe lahko močno poenostavimo z upoštevanjem negotovosti in uporabo Taylorjeve vrste: \[ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} x + \frac{f''(a)}{2!} x^2 + \frac{f'''(a)}{3!} x^3 + ... \] V enačbi lahko zanemarimo člene od tistega naprej, ki je zadosti manjši od negotovosti.

Veličine in enote

Osnovne enote

---

Zunanje povezave in viri

• The Feynman Lectures on Physics
• The International System of Units (SI; 2019)
• NIST – CODATA values of the fundamental physical constants