- Računstvo
Računstvo
Logika
| ne | ali | in | torej / če …, potem | če in samo če …, potem | je enako | podmnožica | unija | prazna množica | presek |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \[\neg\] | \[\lor\] | \[\land\] | \[\implies\] | \[\iff\] | \[\Leftrightarrow\] \[=\] | \[\subset\] | \[\cup\] | \[\emptyset\] | \[\cap\] |
| \(A\) | \(B\) | \(\neg A\) | \(A \land B\) | \(A \lor B\) | \(A \implies B\) | \(A \iff B\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P | P | N | P | P | P | P |
| P | N | N | N | P | N | N |
| N | P | P | N | P | P | N |
| N | N | P | N | P | P | P |
Množice števil
Računamo lahko v različnih množicah števil - to je stvar izbire. Tako lahko račun v neki množici nima rešitve (ki jo hočemo v tej množici), ima pa jo v neki drugi množici, vendar nas ta rešitev ne zanima, zato razglasimo, da račun v izbrani množici nima rešitve (tako je običajno npr. s koreni negativnih števil).
\[ \href{#Naravna_stevila}{\mathbb{N}} < \href{#Cela_stevila}{\mathbb{Z}} < \href{#Racionalna_stevila}{\mathbb{Q}} < \href{#Realna_stevila}{\mathbb{R}} < \href{#Kompleksna_stevila}{\mathbb{C}} \]
Naravna števila
To so (pozitivna cela) števila s katerimi štejemo (npr. 1, 2, 3, 4, 5, 6, …).
Cela števila
To so naravna števila, število 0 in nasprotne vrednosti naravnih števil - negativna cela števila (npr. 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …)
Razložna števila
(racionalna števila)
To so števila, ki jih lahko izrazimo kot razmerje dveh celih števil, oz. predstavimo z ulomki (npr. 0, 1, -1, 1/3, -1/3, …).
Nerazložna števila
(iracionalna števila)
To so števila, ki jih ni mogoče izraziti kot razmerje dveh celih števil, oz. predstaviti z ulomki (npr. \(\sqrt{2}\), π, e, …).
Stvarna števila
(realna števila)
To so števila, ki jih lahko predstavimo na običajni številski premici (npr. 0, 1, -1, 1/3, -1/3, π, \(\sqrt{2}\), …).
Skupna števila
(kompleksna števila)
Skupna števila imajo stvarno sestavino (realno komponento) a in umišljeno sestavino (imaginarno komponento) b. Umišljena komponenta se označuje z i.
\[ \mathbb{C} = \left\{a + b\mathrm{i}; (a, b \in \mathbb{R} ) \land (\mathrm{i}^2 = -1 \Leftrightarrow \sqrt{-1} = \sqrt{\mathrm{i^2}})\right\} \]
Računske operacije
Operacije imajo lahko sledeče lastnosti:
- zamenljivost, zakon o zamenjavi (komutativnost; npr. \(a+b = b+a\), \(A \cup B = B \cup A\)),
- družilnost, zakon o združevanju (asociativnost; npr. \((a+b)+c = a+(b+c)\), \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)),
- razčlenljivost, zakon o razčlenitvi (distributivnost; npr. \((a+b)c = ac + bc\), \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)),
- povratnost (refleksivnost; npr. \(a \parallel a\)),
- vzajemnost (simetričnost; npr. \(a \parallel b \iff b \parallel a\)),
- prehodnost (tranzitivnost; npr. \(a \parallel b \land b \parallel c \iff a \parallel c\)),
- nespremenljivost (idempotenca; npr. \(A \cup A = A\)),
- absorbcija (npr. \(A \cup (A \cap B) = A\) - absorbcija unije glede na presek),
Množice
Potenčna množica množice A je množica njenih podmnož
ic, vključno s prazno množico. Če imamo množico A = {a, b, c, … }, je potenčna množica te množice:
P(A) = {{}, {a}, {b}, {c}, …, {ab}, {ac}, {bc}, …, {abc}, …}
Moč takšne potenčne mnoćžice, kjer je n število elementov v množici, je:
\[ m(\mathcal{P}(A)) = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + ... + \binom{n}{n} = 2^n \]
Kombinatorika
Verjetnost sestavljenega dogodka je zmnožek verjetnosti posameznih dogodkov.
Razvrstitve (permutacije)
To so razporedbe n različnih elementov na n mest.
\[ P_n = n! \]
Pri razvrstitvah z r ponovitvami posameznih elementov ne upoštevamo različnih razvrstitev enakih predmetov (možnih razvrstitev je r!):
\[ P_n^{r_1, r_2, r_3, ... , r_k} = \frac {n!}{r_1! r_2! r_3! ... r_k!} \]
Pri krožni razvrstitvi ne upoštevamo možnih zasukov enake razporedbe (če ne razlikujemo mest te krožne razvrstitve):
\[ P_n = \frac {n!}{n} = (n-1)! \]
Različice (variacije)
To so razporedbe n predmetov na r mest.
Če se elementi ne smejo ponavljati (na voljo imaš le različne elemente):
\[ V_n^r = \frac {n!}{(n-r)!} \]
Če se elementi lahko ponavljajo (uporabiš lahko večkrat enake elemente):
\[ ^{(p)}V_n^r = n^r \]
Izbori (kombinacije)
To so izbori r elementov iz množice z n elementi. Pri tem vrstni red ni pomemben, zato je to pravzaprav število različic (variacij), deljeno s številom možnih razvrstitev elementov posamezne različice.
\[ C_n^r = \frac {V_n^r}{r!} = \binom {n}{r} \]
Verjetnost
Statistično/empirično se verjetnost dogodka P(A) lahko opredeli kot število, pri katerem se ustali relativna pogostost dogodka A pri velikem številu ponovitev poskusa:
\[ P(A) = \lim_{n \to \infty} f'(A) \]
Relativna pogostost dogodka A se izračuna kot pogostost dog. A f(A) na število ponovitev poskusa n:
\[ f'(A) = \frac {f(A)}{n} \]
Običajno se verjetnost opredeli kot št. ugodnih izidov m za dogodek na št. vseh izidov n:
\[ P(A) = \frac {m}{n} \]
Za elementarni dogodek v popolnem sistemu dogodkov (kjer so vsi dog. enako verjetni) je ta verjetnost \(P(E) = \frac {1}{n}\).
Zaporedja
Aritmetično zaporedje
Splošni člen: \[ a_n = (n - 1)d \] Vsota zaporedja: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} ( 2a_1 + a_n) \]
Geometrijsko zaporedje
Splošni člen: \[ a_n = a_1 k^{n-1} \] Vsota zaporedja: \[ S_n = a_1 \frac {k^n -1}{k - 1} \]
V primeru, da pa velja \(k = 1\): \[ S_n = n a_1 \]
Neskončna geometrijska vrsta
\(|k| < 1\) - konvergentno zaporedje, vsota neskončnega zaporedja je končna; \[ |k| < 1; \lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{i=1}^{\infty} a_1 k^{i-1} = \frac{a_1}{1-k} \]
\(|k| \ge 1\) - divergentno zaporedje, vsota neskončnega zaporedja je neskončna
Dvočlenik (binom)
Dvočlenik je \(a+b\).
Dvočlenski izrek (binomski izrek)
Dvočlensko znamenje je \(\binom {n}{r}\).
\[ (a+b)^n = \binom{n}{0} a^n b⁰ + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \binom{n}{3} a^{n-3} b^3 + ... + \binom {n}{n} b^n a^0 = \sum_{r=0}^{n} \binom {n}{r} a^{n-r} b^r \]
Splošni člen dvočlenskega izreka je torej: \[ \binom {n}{r} a^{n-r} b^r\]
Nekaj pravil za računanje z dvočlenskim znamenjem:
\[ \binom {n}{r} = \binom {n}{n-r} \] \[ \binom {n}{0} = \binom {n}{n} = 1 \] \[ \binom {n}{r} + \binom {n}{r+1} = \binom {n+1}{r+1} \]
Funkcije
Funkcija je lahko:
- soda: \(f(-x) = f(x)\),
- liha: \(f(-x) = -f(x)\);
- injektivna (nobena vrednost y se ne ponovi): \(x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)\);
- surjektivna (zaloga funkcije so vsa stvarna števila): \(Z_f = \mathbb{R}\);
- bijektivna: injektivna in surjektivna;
Enačbo funkcije lahko podamo v več oblikah:
- razvita (eksplicitna): \(y = kx + n\) - razberemo smerni količnik \(k\) in začetno vrednost \(n\),
- nerazvita (implicitna): \(ax + by + c = 0\) - enačeno z nič,
- odsekovna (segmentna): \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\) - razberemo ničlo \(m\) in začetno vrednost \(n\),
- razcepna/ničelna: \(y = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)...\) - ničle \(x_1, x_2, x_3\), …,
- temenska
- kvadratne funkcije: \(y = a(x - p)^2 + q\) - teme T(p, q)
V nerazviti obliki lahko zapišemo enačbe vseh funkcij, v ostalih dveh pa ne - v razviti ne moremo zapisati navpičnih funkcij.
Računanje s funkcijami: \[ (f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x) \] \[ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \] \[ \left( \frac{f}{g} \right) (x) = \frac{f(x)}{g(x)}; g(x) \neq 0 \]
Za kot, pod katerim funkcija seka os x velja \(\tan \varphi = k\). Kot med dvema funkcijama v presečišču: \[ \tan \varphi = \left| \frac {k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right| \]
Inverzna funkcija \(f^{-1}(x)\): \[f: x \to y \iff f^{-1}: y \to x\]
Sestavljena funkcija (kompozitum funkcije): \[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \neq (f \circ g)(x) \]
Linearna funkcija
\[ f(x) = kx + n \] \[ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \tan \alpha \]
Potenciranje
Pravila za računanje s potencami: \[ a^0 = 1 \] \[ a^m \cdot a^n = a^{m + n} \] \[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \] \[ (a^m)^n = a^{mn} \] \[ a^{-n} = (\frac{1}{a})^n \]
Potence, ki so ulomki, lahko izrazimo tudi s koreni: \[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \]
Kvadratna funkcija
- \(f(x) = ax^2 + bx + c; a \neq 0\);
- temenska oblika: \(f(x) = a(x - p)^2 + q\), teme T(p, q);
- razcepna/ničelna oblika: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\), ničli \(x_1\) in \(x_2\);
\[ x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a} \] \[ D = b^2 - 4 a c \] \[ p = - \frac{b}{2 a} = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ q = f(p) = - \frac{D}{4a} \]
Vietovi enačbi (z ničlama \(x_1\) in \(x_2)\): \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]
Logaritem
Logaritem je obratna funkcija potenciranja.
\[ \log_a x = b \iff a^b = x \]
\[ \log_a 1 = 0 \] \[ \log_a a = 1 \]
Pravila za računanje z logaritmi:
\[ \log_a(u \cdot v) = \log_a u + \log_a v \] \[ \log_a \left( \frac{u}{v} \right) = \log_a u - \log_a v \] \[ \log_a u^v = v \cdot \log_a u \] \[ \log_a u = \frac{\log_b u}{\log_b a} \]
Kotne funkcije
| fun. \ kot | \[ 0 \] | \[ \frac{\pi}{6} = 30 ° \] | \[ \frac{\pi}{4} = 45 ° \] | \[ \frac{\pi}{3} = 60 ° \] | \[ \frac{\pi}{2} = 90 ° \] |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | \[ 0 \] | \[ \frac{1}{2} \] | \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \] | \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \] | \[ 1 \] |
| cos | \[ 1 \] | \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \] | \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \] | \[ \frac{1}{2} \] | \[ 0 \] |
| tan | \[ 0 \] | \[ \frac{\sqrt{3}}{3} \] | \[ 1 \] | \[ \sqrt{3} \] | |
| cot | \[ \sqrt{3} \] | \[ 1 \] | \[ \frac{\sqrt{3}}{3} \] | \[ 0 \] |
\[ \sin^2x + \cos^2x = 1 \]
Limita
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \pm \lim_{n \to \infty}b_n \]
\[ \lim_{n \to \infty} C = C \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \] \[ \lim_{n \to \infty} a^n = \begin{cases} 0; -1 < a < 1 \\ \infty; a > 1 \\ 1; a = 1 \end{cases} \] \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac {1}{n} \right)^n = e \] \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x} = 1 \]
Odvod in integral
Odvod funkcije je funkcija naklonov te funkcije. Opredelitev odvoda:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x + h) - f(x)}{h} \]
Integral je obratna funkcija odvoda.
V spodnji preglednici so neosnovni (oz. bolj neosnovni) integrali sivo obarvani.
| \[ \boldsymbol {f(x)} \] | \[ \boldsymbol {f'(x)} \] | \[ \boldsymbol {\int f(x) \mathrm{d}x} \] |
|---|---|---|
| \[ a \] | \[ 0 \] | \[ ax + C \] |
| \[ \textcolor{grey} {1} \] | \[ \textcolor{grey} {0} \] | \[ \textcolor{grey} {x + C} \] |
| \[ a x \] | \[ a \] | \[ \textcolor{grey} {a \frac {x^2}{2}+C} \] |
| \[ \textcolor{grey} {x} \] | \[ \textcolor{grey} {1} \] | \[ \textcolor{grey} {\frac {x^2}{2}+C} \] |
| \[ x^r \] | \[ rx^{r-1} \] | \[ \frac {x^{r+1}}{r+1} + C \] |
| \[ x^x \] | \[ x^x (ln x + 1) \] | |
| \[ x^{-1} \] | \[ \textcolor{grey} {-x^{-2}} \] | \[ \ln |x| + C \] |
| \[ a^x \] | \[ a^x \ln a = \frac {a^x}{log_a \mathrm{e}} \] | \[ \frac {a^x}{lna} + C \] |
| \[ \textcolor{grey} {e^x} \] | \[ \textcolor{grey} {\mathrm{e}^x} \] | \[ \textcolor{grey} {\mathrm{e}^x + C} \] |
| \[ \mathrm{e}^{a x} \] | \[ a e^{a x} \] | \[ \frac {\mathrm{e}^{a x}}{a} + C \] |
| \[ \log_a x \] | \[ \frac {1}{x \ln a} = \frac {\log_a \mathrm{e}}{x} \] | |
| \[ \textcolor{grey} {ln x} \] | \[ \textcolor{grey} {\frac {1}{x}} \] | |
| \[ \sin x \] | \[ \cos x \] | \[ - \cos x + C \] |
| \[ \sin a x \] | \[ -\frac {1}{a} \cos a x + C \] | |
| \[ \cos x \] | \[ - \sin x \] | \[ \sin x + C \] |
| \[ \cos a x \] | \[ \frac {1}{a} \sin a x + C \] | |
| \[ \tan x \] | \[ \frac {1}{cos^2x} \] | |
| \[ \frac {1}{\cos^2 x} \] | \[ \tan x + C \] | |
| \[ cot x \] | \[ - \frac {1}{\sin^2 x} \] | |
| \[ \frac {1}{\sin^2 x} \] | \[ - \cot x + C \] | |
| \[ \arcsin x \] | \[ \frac {1}{\sqrt {1 - x^2}} \] | |
| \[ \frac {1}{\sqrt {1 - x^2}}\] | \[ \arcsin x + C \] | |
| \[ \arccos x \] | \[ - \frac {1}{\sqrt {1 - x^2}} \] | |
| \[ \arctan x \] | \[ \frac {1}{1 + x^2} \] | |
| \[ \frac {1}{x^2 + 1} \] | \[ \arctan x + C \] | |
| \[ \frac {1}{x^2 + a^2} \] | \[ \frac {1}{a} \arctan \frac {x}{a} + C \] | |
| \[ \operatorname{arccot} x \] | \[ - \frac {1}{1 + x^2} \] |
Pravila za računanje z integrali: \[ \int \bigl( f(x) + g(x) \bigr) \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d} x + \int g(x) \mathrm{d} x \] \[ \int k \cdot f(x) \mathrm{d} x = k \int f(x) \mathrm{d} x \]
Integracija po delih:
\[ \int u v' = u v - \int v u' \]
Prostornina telesa zavrtene zvezne funkcije okoli osi x:
\[ V = \pi \int_a^b (f(x))^2 \mathrm{d}x \]
Stožnice
Stožnice se tako imenujejo zato, ker jih lahko dobimo s presekom dvojnega stožca z ravnino. Stožnice so krivulje II. reda.
\[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
Za stožnice velja, da je vsaj eden od količnikov A, B, C ni enak 0. \(B = 0\)
- \(A=C\) - krožnica;
- \(A C > 0\) (A in C sta enako predznačena in nista enaka 0) - elipsa
- \(A C < 0\) (A in sta sta različno predznačena in nista enaka 0) - hiperbola;
- \(A = 0\) ali \(C = 0\) - parabola
Izsrednost je razdalja posameznega od dveh gorišč od središča:¸
- linearna izsrednost e (absolutna vrednost);
- numerična izsrednost ε (relativna na polos izsrednosti, oz. na polos, na kateri ležita gorišči, oz. na realno polos)
Izsrednost je lahko:
- vodoravna, gorišči sta na osi x: \(a > b\): \[e^2 = a^2 - b^2\] \[ε = \frac{e}{a}\]
- navpična, gorišči sta na osi y: \(a < b\) \[e^2 = b^2 - a^2\] \[ε = \frac{e}{b}\]
Središče S(p, q), polmer r, x-polos a in y-polos b.
Krožnica
\[ (x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2 \]
Elipsa
\[ \frac {(x-p)^2}{a^2} + \frac {(y-q)^2}{b^2} = 1 \]
Hiperbola
\[ \frac{(x - p)^2}{a^2} - \frac{(y - q)^2}{b^2} = \pm 1 \]
za \(+1\) je \(a\) realna polos in \(b\) imaginarna polos; temeni in gorišči sta na x-osi; lahko zapišemo kot: \[ \frac{(x - p)^2}{a^2} - \frac{(y - q)^2}{b^2} = 1 \]
za \(-1\) je ravno obratno - \(a\) je imaginarna in \(b\) relna polos; temeni in gorišči sta na y-osi; lahko zapišemo kot: \[ - \frac{(x - p)^2}{a^2} + \frac{(y - q)^2}{b^2} = 1 \]
Parabola
- navpična vodnica \((- \frac{p}{2}, b)\): \[ (y - b)^2 = 2p(x - a)\]
- vodoravna vodnica \((a, - \frac{p}{2})\): \[ (x - a)^2 = 2p(y - b)\]
Teme parabole: (a, b).
Prostoroslovje
(geometrija)
Tetivnemu liku lahko očrtamo krožnico tako, da so vsi njegovi koti na krožnici.
Za tetivni štirikotnik (to je le trapez) velja, da sta nasprotna kota sokota.
Koti
Radian
Radian je opredeljen kot kot loka enake dolžine kot polmera. Torej je bseg kroga \(2 \pi\) radianov, oz. \(2 \pi\) polmerov. \[ 180 ° = \pi \mathrm{rd} \]
Trikotnik
Trikotnik z oglišči \(A(x_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\), s stranicami a, b, c.
\[ S = \frac {1}{2} \left| (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1) \right| \]
\[ S = \frac{a v_a}{2} = \frac{ab \sin \gamma}{2} \]
\[ s = \frac {a+b+c}{2} \]
\[ R_{\text{očrtan.}} = \frac{abc}{4 S} \] \[ r_{\text{včrtan.}} = \frac{S}{s} \]
Heronova enačba za ploščino trikotnika: \[ S = \sqrt{s (s - a)(s - b)(s - c)} \]
Kosinusni izrek: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos \alpha \]
Sinusni izrek: \[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R_{\text{očrtan.}} \]
Pravokotni trikotnik
Pitagorov izrek: \[ h^2 = k_1^2 + k_2^2 \]
Če je \(S\) središče krožnice, na kateri ležijo točke \(A\), \(B\) in \(C\):
- obodni kot je \(\angle{ACB}\),
- središčni kot je \(\angle{ASB}\),
Središčni kot je dvakratnik obodnega.
Talesov izrek: obodni kot nad premerom krožnice je pravi; oz. razdalja med razpoloviščem hipotenuze in nasprotnim ogliščem je vedno polovica hipotenuze.
Paralelogram
Štirikotnik s paroma (nasprotnimi) vzporednimi stranicami.
\[ S = a v_a = ab \sin \alpha \]
Deltoid
Štirikotnik s paroma skladnimi soležečimi stranicami.
\[ S = \frac{e f}{2} \]
Krogla
Krogla s polmerom r.
Površina krogle je enaka obsegu kroga krat premer, kar je enako plašču valja, visokega in širokega za premer krogle.
\[ P = 2 \pi r \cdot 2 r = 4 \pi r^2 \] \[ V = \frac {4 \pi r^3}{3} \]
Vektorji
\[\vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \]
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos \phi = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \] \[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]